Henstock–Kurzweil积分

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数学中,Henstock–Kurzweil积分(也称为Luzin积分Perron积分,有时为了和广义Denjoy积分区别而称为Denjoy积分)是黎曼积分的一种推广,有些情况下比勒贝格积分更加宽泛。

Henstock-Kurzweil积分最早是由二十世纪初法国数学家Arnaud Denjoy引进的。Arnaud Denjoy在研究形似:

ƒ(x) = 1/x sin  1/x3  .

的函数的时候,希望能够为它们定义积分。这种函数往往在某一点附近无法定义黎曼积分,但是用类似极限定义的 ε − δ 方法又能够定义出类似黎曼积分的极限。

为了给这类函数定义积分,Denjoy将黎曼不可积的点分为若干种情形,分别用超限归纳法来定义积分。这样的定义繁复冗长。Nikolai Luzin使用类似绝对连续的方式给出了另一种等价定义;Oskar Perron也给出了一种等价的定义,但这个等价关系并不显然。

1957年,捷克数学家Jaroslav Kurzweil给出了一种比较优雅的定义,和黎曼积分的定义比较相似。Kurzweil称之为“刻度积分”(Gauge Integral)。而Ralph Henstock则发展并完善了这种积分理论。基于这两位数学家的贡献,现今一般将这种积分称为Henstock-Kurzweil积分。由于Kurzweil的定义和黎曼积分的定义同样简洁,有的数学教育者认为可以在教学中用Henstock-Kurzweil积分代替黎曼积分,但这个主张并未被广泛采纳。

定义[编辑]

这里只给出Henstock的定义:

区间分割与刻度[编辑]

给定一个取样分割Pa = u_0 < u_1 < \cdots < u_n = b, \ \ t_i \in [u_{i-1}, u_i]和一个正函数\delta \colon [a, b] \to (0, \infty)\,(所谓的“刻度”),如果

\forall i, \, \ \ t_i-\delta(t_i)< u_{i-1} \leq t_i \leq u_i < t_i + \delta (t_i).

就称这个分割是一个δ-精细分割。[1]

黎曼和[编辑]

对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数ff关于取样分割Px_0,\ldots,x_nt_0,\ldots,t_{n-1}黎曼和定义为以下和式:

\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i)

和式中的每一项是子区间长度x_{i+1}-x_i与在t_i处的函数值f(t_i)的乘积。直观地说,就是以标记点t_i上的函数值f(t_i)到X轴的距离为高,以分割的子区间为长的矩形的面积。[1]

Henstock–Kurzweil积分[编辑]

S是函数f在闭区间[a,b]上的Henstock–Kurzweil积分,当且仅当对于任意的\epsilon > 0,都存在刻度函数\delta,使得对于任意的取样分割Px_0,\ldots,x_nt_0,\ldots,t_{n-1},只要P是δ-精细分割,就有:

\left|\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) - S \right| < \epsilon.\,[1]

从定义中可以看出,Henstock–Kurzweil积分比黎曼积分更加注重区间上的取样。黎曼积分中,只将分割的小区间的最大长度作为精细度的标准。Henstock–Kurzweil积分的定义中引入“刻度”函数,并将取样值和刻度函数联系起来,定义分割的精细程度。如果将刻度函数δ设定为常值函数,那么Henstock–Kurzweil积分就退化为黎曼积分。[1]

δ-精细分割的存在性[编辑]

如果对某些刻度函数δ,δ-精细分割不存在,那么定义中“只要P是δ-精细分割,就有”一句就会变成一个前件全真的判断,从而失去应有的意义。Cousin定理说明,对任意的刻度函数δ,必定存在δ-精细分割,杜绝了Henstock–Kurzweil积分定义逻辑上可能存在的瑕疵[1]

积分的唯一性[编辑]

为了能够良好地定义积分,Henstock–Kurzweil积分的定义中的S必须是唯一存在的,同一个函数在同一个区间上不能有两个不同的积分值。可以证明,Henstock–Kurzweil积分如果存在就必定是唯一的。这说明Henstock–Kurzweil积分是良好定义的。[1]

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Bartle, Robert G. A Modern Theory of Integration. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society. 2001. ISBN 978-0-8218-0845-0 (英文).