K平均算法

聚类分析是数据挖掘及机器学习领域内的重点问题之一，在数据挖掘、模式识别、决策支持、机器学习及图像分割等领域有广泛的应用，是最重要的数据分析方法之一。聚类是在给定的数据集合中寻找同类的数据子集合，每一个子集合形成一个类簇，同类簇中的数据具有更大的相似性。聚类算法大体上可分为基于划分的方法、基于层次的方法、基于密度的方法、基于网格的方法以及基于模型的方法。

k-means algorithm算法是一种得到最广泛使用的基于划分的聚类算法，把n个对象分为k个簇，以使簇内具有较高的相似度。相似度的计算根据一个簇中对象的平均值来进行。它与处理混合正态分布的最大期望算法很相似，因为他们都试图找到数据中自然聚类的中心。

算法首先随机地选择k个对象，每个对象初始地代表了一个簇的平均值或中心。对剩余的每个对象根据其与各个簇中心的距离，将它赋给最近的簇，然后重新计算每个簇的平均值。这个过程不断重复，直到准则函数收敛。

$V = \sum_{i=1}^{k} \sum_{x_j \in S_i} (x_j - \mu_i)^2$

它假设对象属性来自于空间向量，并且目标是使各个群组内部的均方误差总和最小。假设有k个群组Si, i=1,2,...,k。μi是群组Si内所有元素xj的重心，或叫中心点。

算法描述

输入：簇的数目k；包含n个对象的数据集D。

输出：k个簇的集合。

方法：

1. 从D中任意选择k个对象作为初始簇中心；
2. repeat;
3. 根据簇中对象的均值，将每个对象指派到最相似的簇；
4. 更新簇均值，即计算每个簇中对象的均值；
5. 计算准则函数；
6. until准则函数不在发生变化。

算法的性能分析

1）优点

（1）k-平均算法是解决聚类问题的一种经典算法，算法简单、快速。

（2）对处理大数据集，该算法是相对可伸缩的和高效率的，因为它的复杂度大约是O（nkt），其中n是所有对象的数目，k是簇的数目,t是迭代的次数。通常k<<n。这个算法经常以局部最优结束。

（3）算法尝试找出使平方误差函数值最小的k个划分。当簇是密集的、球状或团状的，而簇与簇之间区别明显时，它的聚类效果很好。

2）缺点

（1）k-平均方法只有在簇的平均值被定义的情况下才能使用，不适用于某些应用，如涉及有分类属性的数据不适用。

（2）要求用户必须事先给出要生成的簇的数目k。

（3）对初值敏感，对于不同的初始值，可能会导致不同的聚类结果。

（4）不适合于发现非凸面形状的簇，或者大小差别很大的簇。

（5）对于"噪声"和孤立点数据敏感，少量的该类数据能够对平均值产生极大影响。

算法的改进

针对算法存在的问题，对K-means算法提出一些改进：一是数据预处理，二是初始聚类中心选择，三是迭代过程中聚类种子的选择。

首先对样本数据进行正规化处理，这样就能防止某些大值属性的数据左右样本间的距离。给定一组含有n个数据的数据集，每个数据含有m个属性，分别计算每一个属性的均值、标准差对每条数据进行标准化。

其次，初始聚类中心的选择对最后的聚类效果有很大的影响，原K-means算法是随机选取k个数据作为聚类中心，而聚类的结果要是同类间尽可能相似，不同类间尽可能相异，所以初始聚类中心的选取要尽可能做到这一点。采用基于距离和的孤立点定义来进行孤立点的预先筛选，并利用两两数据之间的最大距离在剩余数据集合中寻找初始聚类中心。但对于实际数据，孤立点个数往往不可预知。在选择初始聚类中心时，先将孤立点纳入统计范围，在样本中计算对象两两之间的距离，选出距离最大的两个点作为两个不同类的聚类中心，接着从其余的样本对象中找出已经选出来的所有聚类中心的距离和最大的点为另一个聚类中心，直到选出k个聚类中心。这样做就降低了样本输入顺序对初始聚类中心选择的影响。

聚类中心选好以后，就要进行不断的迭代计算，在K-means算法中，是将聚类均值点(类中所有数据的几何中心点)作为新的聚类种子进行新一轮的聚类计算，在这种情况下，新的聚类种子可能偏离真正的数据密集区，从而导致偏差，特别是在有孤立点存在的情况下，有很大的局限性。在选择初始中心点时，由于将孤立点计算在内，所以在迭代过程中要避免孤立点的影响。这里根据聚类种子的计算时，采用簇中那些与第k-1轮聚类种子相似度较大的数据，计算他们的均值点作为第k轮聚类的种子，相当于将孤立点排除在外，孤立点不参与聚类中心的计算，这样聚类中心就不会因为孤立点的原因而明显偏离数据集中的地方。在计算聚类中心的时候，要运用一定的算法将孤立点排除在计算均值点那些数据之外，这里主要采用类中与聚类种子相似度大于某一阈值的数据组成每个类的一个子集，计算子集中的均值点作为下一轮聚类的聚类种子。为了能让更多的数据参与到聚类中心的计算种去，阈值范围要包含大多数的数据。在第k-1轮聚类获得的类，计算该类中所有数据与该类聚类中心的平均距离S,选择类中与聚类种子相似度大于2S的数据组成每个类的一个子集，以此子集的均值点作为第k轮聚类的聚类种子。在数据集中无论是否有明显的孤立点存在，两倍的平均距离都能包含大多数的数据。

参考资料

• J. B. MacQueen (1967): "Some Methods for classification and Analysis of Multivariate Observations", Proceedings of 5-th Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Berkeley, University of California Press, 1:281-297

• J. A. Hartigan (1975) "Clustering Algorithms". Wiley.

• J. A. Hartigan and M. A. Wong (1979) "A K-Means Clustering Algorithm", Applied Statistics, Vol. 28, No. 1, p100-108.
• D. Arthur，S. Vassilvitskii (2006): "How Slow is the k-means Method?," Proceedings of the 2006 Symposium on Computational Geometry (SoCG).

外部链接

• Numerical Example of K-means clustering
• Application example which uses K-means clustering to reduce the number of colors in images
• Interactive demo of the K-means-algorithm(Applet)
• An example of multithreaded application which uses K-means in Java
• K-means application in php
• K-means application in image retrieval
• Another animation of the K-means-algorithm

参见

• Data clustering
• Linde-Buzo-Gray algorithm