K-理论

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数学中,K-理论K-theory)是多个领域使用的一个工具。在代数拓扑中,它是一种异常上同调,称为拓扑K-理论;在代数代数几何中,称之为代数K-理论;在算子代数中也有诸多应用。它导致了一类 K-函子构造,K-函子包含了有用、却难以计算的信息。

物理学中,K-理论特别是扭曲K-理论twisted K-theory)出现在II型弦理论Type II string theory),其中猜测它们可分类D-膜D-branes)、拉蒙-拉蒙场强Ramond-Ramond field)以及广义复流形上某些旋量。具体细节参见K-理论 (物理)

早期历史[编辑]

这个课题最早由亚历山大·格罗滕迪克1957年发现,名字取自德文Klasse”,意为“分类”class ,进而表述为格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理[1]。格罗腾迪格需要在代数簇 X上工作。不是直接在处理层,他给出了两个构造。首先,他利用直和运算将层的交换幺半群转换成一个群 K(X) 通过取层的分类的形式和以及形式加法逆(这是得到给定函子左伴随的明确方法)。在第二个构造中,他强加以与层扩张一致的额外关系,得到一个现在记作 G(X) 的群。这两个构造都被称为格罗腾迪克群K(X) 具有上同调表现而 G(X) 有同调表现。

如果 X 是一个光滑簇,两个群是相同的。

在拓扑学中,我们对向量丛有类似的和构造。迈克尔·阿蒂亚弗里德里希·希策布鲁赫Friedrich Hirzebruch)在1959年使用格罗腾迪格群构造来定义拓扑空间 XK(X)(两个构造一致)。这是在代数拓扑中发现的第一个奇异上同调理论的基础。它在指标定理的第二证明中起了巨大的作用。此外,这种途径导向了 C*-代数非交换 K-理论。

在1955年,让-皮埃尔·塞尔已经用具有投射模向量丛的类似物来表述塞尔猜想Serre's conjecture),该猜想声称一个域上多项式环上的投射模是自由模;这个论断是正确的,但知道20年后才解决(斯旺定理Swan'theorem)是这个类比的另一方面)。1959年,塞尔给出了环的格罗腾迪克群构造,用它来证明投射模是稳定自由的。这个应用是代数K-理论之开端。

发展[编辑]

随后一个时期,出现了各种类型的“高阶 K-理论函子”定义。最后,两种有用的等价定义由丹尼尔·奎伦Daniel Quillen)在1969年与1972年用同伦理论给出。另一种变体也由弗里德海姆·瓦尔德豪森Friedhelm Waldhausen)为了研究“空间的代数 K-理论”提出,这与伪同痕的研究有关。大多数现代高阶 K-理论研究与代数几何和主上同调motivic cohomology)有关。

带有一个辅助的二次型的相应构造具有一般名字L-理论L-theory)。它是割补理论surgery theory)的主要工具。

弦理论中,拉蒙-拉蒙场强与稳定D-膜电荷的 K-理论分类在1997年首次提出[2]

另见[编辑]

参考文献[编辑]

注释[编辑]