K-理论

在数学中，K-理论（K-theory）是多个领域使用的一个工具。在代数拓扑中，它是一种异常上同调，称为拓扑K-理论；在代数与代数几何中，称之为代数K-理论；在算子代数中也有诸多应用。它导致了一类 K-函子构造，K-函子包含了有用、却难以计算的信息。

在物理学中，K-理论特别是扭曲K-理论（twisted K-theory）出现在II型弦理论（Type II string theory），其中猜测它们可分类D-膜（D-branes）、拉蒙-拉蒙场强（Ramond-Ramond field）以及广义复流形上某些旋量。具体细节参见K-理论 (物理)。

早期历史

这个课题最早由亚历山大·格罗滕迪克1957年发现，名字取自德文“Klasse”，意为“分类”class ，进而表述为格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理。格罗腾迪格需要在代数簇 X 的层上工作。不是直接在处理层，他给出了两个构造。首先，他利用直和运算将层的交换幺半群转换成一个群 $K(X)$ 通过取层的分类的形式和以及形式加法逆（这是得到给定函子左伴随的明确方法）。在第二个构造中，他强加以与层扩张一致的额外关系，得到一个现在记作 $G(X)$ 的群。这两个构造都被称为格罗腾迪克群；$K(X)$ 具有上同调表现而 $G(X)$ 有同调表现。

如果 $X$ 是一个光滑簇，两个群是相同的。

在拓扑学中，我们对向量丛有类似的和构造。迈克尔·阿蒂亚与弗里德里希·希策布鲁赫（Friedrich Hirzebruch）在1959年使用格罗腾迪格群构造来定义拓扑空间 $X$ 的 $K(X)$（两个构造一致）。这是在代数拓扑中发现的第一个奇异上同调理论的基础。它在指标定理的第二证明中起了巨大的作用。此外，这种途径导向了 C*-代数的非交换 $K$-理论。

在1955年，让-皮埃尔·塞尔已经用具有投射模向量丛的类似物来表述塞尔猜想（Serre's conjecture），该猜想声称一个域上多项式环上的投射模是自由模；这个论断是正确的，但知道20年后才解决（斯旺定理（Swan'theorem）是这个类比的另一方面）。1959年，塞尔给出了环的格罗腾迪克群构造，用它来证明投射模是稳定自由的。这个应用是代数K-理论之开端。

发展

随后一个时期，出现了各种类型的“高阶 K-理论函子”定义。最后，两种有用的等价定义由丹尼尔·奎伦（Daniel Quillen）在1969年与1972年用同伦理论给出。另一种变体也由弗里德海姆·瓦尔德豪森（Friedhelm Waldhausen）为了研究“空间的代数 K-理论”提出，这与伪同痕的研究有关。大多数现代高阶 K-理论研究与代数几何和主上同调（motivic cohomology）有关。

带有一个辅助的二次型的相应构造具有一般名字L-理论（L-theory）。它是割补理论（surgery theory）的主要工具。

在弦理论中，拉蒙-拉蒙场强与稳定D-膜电荷的 K-理论分类在1997年首次提出。

另见

• 上同调论列表（List of cohomology theories）
• K-理论 (物理)（K-theory）
• L-理论（L-theory）
• 博特周期性

参考文献

• Atiyah, Michael Francis, K-theory, Advanced Book Classics. 2nd, Addison-Wesley. 1989, MR1043170, ISBN 978-0-201-09394-0 （阿蒂亚在哈佛的介绍性课程，基于 D. W. Anderson 的笔记出版。由定义向量丛开始，不需要多少高深数学。）
• Max Karoubi, K-theory, an introduction (1978) Springer-Verlag
• Allen Hatcher, Vector Bundles & K-Theory, (2003)
• PlanetMath上K-theory的資料。
• PlanetMath上Examples of K-theory groups的資料。
• PlanetMath上Algebraic K-theory的資料。
• PlanetMath上Examples of algebraic K-theory groups的資料。
• PlanetMath上Fredholm module的資料。
• PlanetMath上K-homology的資料。
• Max Karoubi's Page