K3曲面

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數學領域的代數幾何複流形理論中,K3曲面是一類重要的緊複曲面,在此「曲面」係指二維,視作實流形則為四維。

K3曲面與二維複環面構成二維的卡拉比-丘流形。複幾何所探討的K3曲面通常不是代數曲面;然而這類曲面首先出現於代數幾何,並以恩斯特·庫默爾埃里希·卡萊爾小平邦彥三位姓氏縮寫為 K 的代數幾何學家命名,也與1950年代被命名的K2峰相映成趣。

定義[编辑]

在不同的脈絡下,K3曲面的定義略有不同。

  • 在複幾何中,K3曲面是具有平凡典範叢的緊緻、單連通複曲面。
  • 在代數幾何中,K3曲面是具有平凡典範叢,且 H^1(X, \mathcal{O}_X)=0 的射影曲面。此定義可推廣至任意上的代數曲面。
  • 另有一個物理文獻中常見的刻劃:K3曲面是不同構於 T^4 的複二維卡拉比-丘流形

重要性質[编辑]

  1. 若將K3曲面視為四維實流形,則它們彼此微分同胚。其貝蒂數為:1、0、22、0、1。
  2. 所有K3曲面都是卡萊爾流形
  3. 根據丘成桐證出的卡拉比猜想,所有K3曲面都配有里奇平坦度量
  4. 現已知對複K3曲面存在一個20維的粗模空間。對複K3曲面,存在週期映射,而且相應的托雷利定理成立。K3曲面也另有其它數種具備良好週期映射的模空間。
  5. K3曲面在弦理論中扮演重要角色,因為它提供了除環面之外最簡單的緊緻化。K3曲面上的緊化保存一半的超對稱

例子[编辑]

  • 庫默爾曲面源自一個二維阿貝爾簇 Aa \mapsto -a 的商空間,此商在二階撓點上產生 2^4=16 個奇點。該空間的極小分解是個K3曲面。
  • \mathbb{P}^3 裡的四次平滑曲面。
  • \mathbb{P}^4 裡二次曲面與三次曲面之交。
  • \mathbb{P}^5 裡三個二次曲面之交。
  • \mathbb{P}^2 沿一條平滑六次曲線的分歧覆蓋。

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

外部連結[编辑]