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Maple

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Maple
Maple12 Screenshot.jpg
Maple界面
開發者 Waterloo Maple Inc. (Maplesoft)枫软
穩定版本 18 / 2014年3月
编程语言 C语言, Java, Maple language
操作系统 跨平台
类型 计算机代数系统
许可协议 私有
網站 www.maplesoft.com/products/maple/
加拿大滑铁卢枫软总部

Maple是一个通用型的商用计算机代数系統。Maple起源于1988年,由加拿大安大略滑铁卢的一家公司,Waterloo Maple Inc.(亦称Maplesoft枫软)进行开发和商业销售。最新版是Maple 18。它的主要竞争者是Mathematica

目前共有五個版本:Personal(個人版),Professional(專業版),Academic(學術版),Government(政府版)和Student(學生版)。

2009年,枫软被日本软件商Cybernet Systems 收购。

總覽[编辑]

核心功能[编辑]

用戶能够直接使用傳統數學符號进行輸入,也可以定制个性化的界面。对于数值计算有额外的支持,能够扩展到任意精度,同时亦支持符號演算及可视化。符號演算的例子参见下文。Maple内建有一种动态的命令行风格的编程语言,该语言支持具有作用域的变量。同时亦有其他語言的接口(C、FORTRAN、Java、Matlab和Visual Basic)。还具有与Excel进行交互的接口。

架构[编辑]

Maple由一个很小的由C语言编写的内核提供Maple语言。许多功能由各种来源的函数库提供。许多数值计算由NAG数值计算库, ATLAS库, GNU多精度库提供。大部分库由Maple语言编写,并且可查看源代码。

Maple中不同的功能需要不同格式的数值数据。符号表达式在内存中以有向无环图的形式存储。标准界面和计算界面由Java语言编写。经典界面由C语言编写。

Maple代码示例[编辑]

简单命令式程序的构造:

myfac := proc(n::nonnegint)
   local out, i;
   out := 1;
   for i from 2 to n do
       out := out * i
   end do;
   out
end proc;

一些简单的函数也可以使用直观的箭头表示法表示

myfac := n -> product( i, i=1..n );

开方[编辑]

evalf[100](2^1/12)

1.059463094359295264561825294946341700779204317494185628559208431458761646063255722383768376863945569

12throotof2threethousanddigits.JPG

求根[编辑]

f:=x^2-63*x+99=0;

solve(f,x);

\frac{63}{2}+\frac{3}{2}*\sqrt(397), \frac{63}{2}-\frac{3}{2}*\sqrt(397)

f := x^7+3*x = 7;

solve(f,x);

RootOf(Z^7  + 3 Z - 7, index = 1),
RootOf(Z^7  + 3 Z - 7, index = 2),
RootOf(Z^7  + 3 Z - 7, index = 3),
RootOf(Z^7  + 3 Z - 7, index = 4),
RootOf(Z^7  + 3 Z - 7, index = 5),
RootOf(Z^7  + 3 Z - 7, index = 5),
RootOf(Z^7  + 3 Z - 7, index =7),

evalf(%);

  • (1.1922047171828134),
  • (0.8658388666792263) + (0.9230818802764879) I,
  • (0.2099602786426775) + (1.3442579297631496) I,
  • (1.2519809466279554) + (0.6424819505558892) I,
  • (1.2519809466279554) - (0.6424819505558892) I,
  • (0.2099602786426775) - (1.3442579297631496) I,
  • (0.8658388666792263) - (0.9230818802764879) I


f := sin(x)^3+5*cosh(x) = 0;


       sin^3(x)  + 5 cosh(x) = 0

> solve(f, x);


RootOf(sin^3(Z) - arccosh(\frac{-1}{5} sin(Z)))

> evalf(%);

0.2873691672 - 1.111497506 I

求解方程和不等式[编辑]

根据x-y > 6,寻找 (x+y)^5 = 9的所有整数解。

solve({x-y > 6, (x+y)^5 = 9}, [x, y])[];

答案: [x = 3^{2/5}-y, \quad  y < \frac{1}{2}3^{2/5}-3]

方程组[编辑]

代数方程组
> p1 := x*y*z-x*y^2-z-x-y; p2 := x*z-x^2-z-y+x; p3 := z^2-x^2-y^2;
> sys := {p1, p2, p3};
> var := {x, y, z};
> solve(sys, var);
: {x = 0, y = y, z = -y}, {x = 3, y = 4, z = 5}, {x = 1, y = 0, z = -1}
三角方程组
> f1 := cos(x)+sin(3*y)+tan(5*z) = 0;
> f2 := cos(3*z)+tan(3*y^2)-sin(2*z^3) = 33;
> f3 := tan(4*x+y)-sin(5*y-4*z) = 2*x;
> sys1 := {f1, f2, f3};
> var1 := {x, y, z};
{x, y, z}
> fsolve(sys1, var1);
{x = -10.77771790, y = -2.397849343, z = -7.382158103}

矩阵与行列式[编辑]

计算矩阵行列式

M:= Matrix([[1,2,3], [a,b,c], [x,y,z]]);  # 矩阵样例

  \begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    a & b & c \\
    x & y & z
  \end{bmatrix}

with(LinearAlgebra)

m:-Determinant(M); 答案: bz-cy+3ay-2az+2xc-3xb

朗斯基行列式

with(VectorCalculus);

w:=Wronskian([1,x,x^3+x-1],x)

Matrix(3, 3, {(1, 1) = 1, (1, 2) = x, (1, 3) = x^3+x-1, (2, 1) = 0, (2, 2) = 1, (2, 3) = 3*x^2+1, (3, 1) = 0, (3, 2) = 0, (3, 3) = 6*x})

d:=Determinant(w);

6x
雅可比矩阵

J := Jacobian([r*sin(t)), r^2*cosh(t)], [r, t]);

m:=Matrix(2, 2, {(1, 1) = cos(t), (1, 2) = -r*sin(t), (2, 1) = sinh(t), (2, 2) = r*cosh(t)})

d:=Determinant(m);

sin(t)*r^2*sinh(t)-2r^2cos(t)cosh(t)

海森矩阵

f := x^3+y*cos(x)+t*tan(y))

with(VectorCalculus);

h:=hessian(f,[x,y,t]);


\begin{bmatrix}
 6*x-y*cos(x) & -sin(x) & 0 \\
 -sin(x) & 2*t*tan(y)*(1+tan(y)^2) & 1+tan(y)^2 \\
 0 & 1+tan(y)^2 & 0
\end{bmatrix}

积分[编辑]

\int\cos\left(\frac{x}{a}\right)dx.

  • int(cos(x/a), x);

答案: a \sin\left(\frac{x}{a}\right)

\int\sin\left(\frac{x}{a}\right)dx.

int(sin(x/a), x);

答案: -a \cos\left(\frac{x}{a}\right)

注意:Maple 在积分时不提供常数项C,必须自行补上。

定积分

> int(cos(x/a), x = 1 .. 5);


16 a sin(1/a)* cos^4(1/a) - 12 a sin^2(1/a)

求解线性微分方程[编辑]

计算以下线性常微分方程的一个精确解 \frac{d^2y}{dx^2}(x) - 3 y(x) = x 初始条件为 y(0) = 0 ,\quad \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = 2

dsolve( {diff(y(x),x,x) - 3*y(x) = x, y(0)=0, D(y)(0)=2}, y(x) );

答案: y(x)=\frac{7}{18}\sqrt{3}e^{\sqrt{3}x}-\frac{7}{18}\sqrt{3}e^{-\sqrt{3}x}-\frac{1}{3}x

非线性常微分方程[编辑]

dsolve(diff(y(x), x, x) = x^2*y(x))

解:

y(x)=C_{1}\sqrt(x)BesselI(1 \over 4,1 \over 2x^2) +C_{2}\sqrt(x)BesselK(1 \over 4,1 \over 2x^2)

级数展开[编辑]

series(tanh(x),x=0,15)

x-\frac{1}{3}*x^3+\frac{2}{15}*x^5-\frac{17}{315}*x^7 +\frac{62}{2835}*x^9-\frac{1382}{155925}*x^{11}+\frac{21844}{6081075}*x^{13}+O(x^{15})

f:=int(exp^cosh(x),x)

series(f,x=0,15);

\exp(1)*x+\frac{1}{6}*\exp(1)*x^3+\frac{1}{30}*\exp(1)*x^5+\frac{31}{5040}*\exp(1)*x^7+\frac{379}{362880}*\exp(1)*x^9+\frac{149}{907200}*\exp(1)*x^{11}+\frac{150349}{6227020800}*\exp(1)*x^{13}+\frac{4373461}{1307674368000}*\exp(1)*x^{15}+O(x^{17})

拉普拉斯变换[编辑]

with(inttrans);

拉普拉斯变换

> f := (1+A*t+B*t^2)*exp(c*t);

 (1+A*t+B*t^2)*e^{c*t}

> laplace(f, t, s);

\frac{1}{s-c}+\frac{A}{(s-c)^2}+\frac{2B}{(s-c)^3}

反拉普拉斯变换

invlaplace(1/(s-a),s,x)

e^{ax}

z := y(t);

y(t)
f := diff(z, t, t)+a*(diff(z, t)) = b*z;

\frac{d^2}{dt^2}y(t)+a\frac{d}{dt}y(t)=by(t)

with(inttrans);


g := laplace(f, t, s);
s^2*laplace(y(t), t, s) - D(y)(0) - s y(0)
+ a s^2 laplace(y(t), t, s) - a y(0) = b laplace(y(t), t, s)
invlaplace(g, s, t);

\frac{d^2}{dt^2}y(t)+a\frac{d}{dt}y(t)=by(t)

傅里叶变换[编辑]

with(inttrans);

fourier(sin(x),x,w)

\Pi*(Dirac(w-1)+Dirac(w+1))

绘制单变量函数图形[编辑]

绘制函数 y=x \cdot \sin xx \in(-10,10)

plot(x*sin(x),x=-10..10);

Mathematica1DPlot.svg

绘制双变量函数[编辑]

绘制函数 x^2+y^2xy 的范围为 -1 到 1

plot3d(x^2+y^2,x=-1..1,y=-1..1);

Mapleplot.jpg

绘制函数动画[编辑]

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二维动画

f:=2*k^2/cosh(k*(x-4*k^2*t))^2

with(plots);

animate(subs(k = .5, f), x = -30 .. 30, t = -10 .. 10, numpoints = 200, frames = 50, color = red, thickness = 3);

钟形孤立子
三维函数动画
三维动画

with(plots)

animate3d(cos(t*x)*sin(3*t*y), x = -Pi .. Pi, y = -Pi .. Pi, t = 1 .. 2)

求解偏微分方程组[编辑]

求解 偏微分方程


{\frac {\partial }{\partial x}}v \left( x,t
 \right) =-u \left( x,t \right) v \left( x,t \right)

{\frac {\partial }{\partial t}}v \left( x,t \right) =-v \left( x,t \right) {\frac {\partial }{\partial x}}u
 \left( x,t \right) +v \left( x,t \right)  \left( u \left( x,t
 \right)  \right) ^{2}
 
{\frac {\partial }{\partial t}}u
 \left( x,t \right) +2\,u \left( x,t \right) {\frac {\partial }{
\partial x}}u \left( x,t \right) -{\frac {\partial ^{2}}{\partial {x}^{2}}}u \left( x,t \right) =0

条件为 v(x,t)\neq 0.

eqn1:= diff(v(x, t), x) = -u(x,t)*v(x,t):
eqn2:= diff(v(x, t), t) = -v(x,t)*(diff(u(x,t), x))+v(x,t)*u(x,t)^2:
eqn3:= diff(u(x,t), t)+2*u(x,t)*(diff(u(x,t), x))-(diff(diff(u(x,t), x), x)) = 0:
pdsolve({eqn1,eqn2,eqn3,v(x,t)<>0},[u,v]): op(%);

答案:   v \left( x,t \right) ={e^{\sqrt {{\it \_c}_{{1}}}x}}{\it \_C3
}\,{e^{{\it \_c}_{{1}}t}}{\it \_C1}+{\frac {{\it \_C3}\,{e^{{\it \_c}_
{{1}}t}}{\it \_C2}}{{e^{\sqrt {{\it \_c}_{{1}}}x}}}}, \  \  u \left( x,t
 \right) =-{\frac {\sqrt {{\it \_c}_{{1}}} \left( {\it \_C1}\, \left( 
{e^{\sqrt {{\it \_c}_{{1}}}x}} \right) ^{2}-{\it \_C2} \right) }{{\it 
\_C1}\, \left( {e^{\sqrt {{\it \_c}_{{1}}}x}} \right) ^{2}+{\it \_C2}} }

积分方程[编辑]

寻找函数f 满足 积分方程 f(x)-3\int_{-1}^1(xy+x^2y^2)f(y)dy = h(x).

eqn:= f(x)-3*Integrate((x*y+x^2*y^2)*f(y), y=-1..1) = h(x):
intsolve(eqn,f(x));

答案: f \left( x \right) =\int _{-1}^{1}\! \left( -15\,{x}^{2}{y}^{2}-3\,xy \right) h \left( y \right) {dy}+h \left( x \right)

版本[编辑]

版本 年份
Maple 1.0 1982年1月
Maple 1.1 1982年
Maple 2.0 1982年5月
Maple 2.1 1982年6月
Maple 2.15 1982年8月
Maple 2.2 1982年12月
Maple 3.0 1983年5月
Maple 3.1 1983年10月
Maple 3.2 1984年4月
Maple 3.3 1985年3月(第一個公開版本)
Maple 4.0 1986年4月
Maple 4.1 1987年5月
Maple 4.2 1987年12月
Maple 4.3 1989年3月
Maple V 1990年8月
Maple V R2 1992年11月
Maple V R3 1994年3月15日
Maple V R4 1996年1月
Maple V R5 1997年11月1日
Maple 6 2000年1月31日
Maple 6.01 ?年?月
Maple 6.02 ?年?月
Maple 7.00 2001年5月28日
Maple 7.01 ?年?月
Maple 8.00 2002年4月22日
Maple 9.00 2003年6月30日
Maple 9.01 2003年7月10日
Maple 9.02 2003年?月
Maple 9.03 2003年11月5日
Maple 9.50 2004年4月7日
Maple 9.51 2004年8月17日
Maple 9.52 2005年1月21日
Maple 10 2005年5月13日
Maple 10.01 2005年?月
Maple 10.02 2005年11月8日
Maple 10.03 ?年?月
Maple 10.04 2006年5月30日
Maple 10.05 2006年6月9日
Maple 10.06 2006年10月2日
Maple 11.0 2007年2月17日
Maple 11.01 2007年7月10日
Maple 11.02 2007年11月10日
Maple 12.0 2008年4月10日
Maple 12.01 2008年10月
Maple 12.02 2008年12月
Maple 13.0 2009年4月13日
Maple 13.01 2009年7月8日
Maple 13.02 2009年7月8日
Maple 14.00 2010年4月5日
Maple 14.01 2010年10月28日
Maple 15 2011年4月13日
Maple 15.01 2011年6月2日
Maple 16 2012年3月28日
Maple 16.01 2012年5月16日/8月27日
Maple 16.02 2012年11月18日
Maple 17.00 2013年2月21日/3月13日/4月10日
Maple 18.00 2014年3月6日

注释[编辑]

  • 现在,MATLAB已改用MuPAD替代了matlab的Maple符号计算内核。

参考文献[编辑]

  • 何青 王丽芬编著 《Maple 教程》 科学出版社 2010 ISBN 9787030177445
  • David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
  • George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759
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外部链接[编辑]

参见[编辑]