n-连通

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

数学的分支拓扑学中,一个拓扑空间 X 称为 n-连通的当且仅当它是道路连通的且其开始 n 个同伦群为消失,即

\pi_i(X) \equiv 0~, \quad 1\leq i\leq n ,

这里左边是第 i 个同伦群的记号。道路连通的条件也能表达为 0-连通,当定义“0 维同伦群”为:

\pi_0(X) := [S^0, X].

一个拓扑空间 X 是道路连通的当且仅当其 0 维同伦群消失,因为道路连通性意味着 X 中任何两点x1x2 能用以 x1 为起点,x2 为终点一条连续道路连接起来,这和从 S0(两个点的离散集)到 X 的任何映射能形变为常映射。有了这种定义,我们可以定义 Xn-连通当且仅当

\pi_i(X) \equiv 0, \quad 0\leq i\leq n.

举例和应用[编辑]

  • 如上所述,一个空间 X 是 0-连通的当且仅当为道路连通;
  • 一个空间是 1 连通的当且仅当为单连通,从而术语“n-连通”是道路连通和单连通的自然推广。

从定义显然有一个 n-连通空间 X 对任何 i < n 也是 i-连通的。

n-连通的概念应用于描述单纯同调和高维同伦群的关系的 Hurewicz 定理

又见[编辑]

参考资料[编辑]

  • Dubrovin, Fomenko & Novikov Modern Geometry II, Spinger-Verlag.