Nabla算子

Del算子或稱Nabla算子，在中文中也叫向量微分算子、劈形算子、倒三角算子，符号为∇，是一个向量微分算子，但本身並非一個向量。

其形式化定义为：

$\nabla ={\mathrm {d} \over \mathrm {d} r}$

在$n$维空间中，分母$\mathrm {d} r$为含$n$个分量的向量，因而$\nabla$本身就是个$n$维向量算子。

三维情况下，$\nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial z}}\mathbf {k}$ 或 $\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

二维情况下，$\nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j}$ 或 $\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}}\right)$

$\nabla$作用于不同类型的量，得到的就是不同类型的新量：

$\nabla$直接作用于函数$F(r)$（不论$F$是标量还是向量），意味着求$F(r)$的梯度，表示为：$\nabla F(r)$（标量函数的梯度为向量，向量的梯度为二阶张量）；

$\nabla$与非标量函数$F(r)$由点积符号 $\cdot$ 连接，意味着求$F(r)$的散度，表示为：$\nabla \cdot F(r)$；

$\nabla$与非标量（三维）函数$F(r)$由叉积符号$\times$连接，意味着求$F(r)$的旋度，表示为：$\nabla \times F(r)$。

名稱

Nabla算子的名字来自希腊语中一种被称为纳布拉琴的竖琴。相关的词汇也存在于亚拉姆语和希伯来语中。

该符号的另一常见的名称是atled，因为它是希腊字母Δ倒过来的形状。除了atled外，它还有一个名称是del。

Del算子在标准HTML中写为&nabla，而在LaTeX中为\nabla。在Unicode中，它是十进制数8711，也即十六进制数0x2207。

Del算子在数学中用于指代梯度算符，並可組成散度、旋度和拉普拉斯算子。它也用于指代微分几何中的联络（可以视为更广意义上的梯度算子）。它由哈密尔顿引入。

参见

• 在圆柱和球坐标系中的del