Pin群

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数学中,Pin 群是一个二次型空间相伴的克利福德代数的一个子群。它有一个到正交群的 2 对 1 映射,就像 Spin 群映到特殊正交群一样。

从 Pin 群到正交群的映射不是满的也不是万有覆叠空间,但对定二次型,两者都正确。

一般定义[编辑]

确定形式[编辑]

Spin-Pin-SO-O-definite.svg

确定形式的 Pin 群是到正交群的满射,每个分支都是单连通的:它是正交群的二重覆叠。正定二次型 Q 和它的负形式 -Q 不是同构的,但是正交群是同构的 [1]

就标准形式而言,O(n,0) = O(0,n),但是 \mbox{Pin}(n,0) \not\cong \mbox{Pin}(0,n)。使用 Clifford 代数(这里 v^2=Q(v) \in C\ell(V,Q))中通用的“±”号记法,我们可以写成

\mbox{Pin}_+(n) := \mbox{Pin}(n,0) \qquad \mbox{Pin}_-(n) := \mbox{Pin}(0,n)

它们都是到 O(n) = O(n,0) = O(0,n) 的满射。

与之对比,我们有同构[2] \mbox{Spin}(n,0) \cong \mbox{Spin}(0,n) 且他们都是特殊正交群 SO(n) 惟一的万有覆叠

不定形式[编辑]

作为拓扑空间[编辑]

任何连通拓扑群在拓扑意义上有惟一的万有覆叠空间,这个空间有惟一的群结构作为基本群中心扩张。对一个不连通拓扑空间,含单位元的分支有一个惟一的万有覆叠,然后在其他分支作为拓扑空间可取同一个覆叠(这是单位分支的主齐性空间),但是其它分支的群结构一般不是惟一的。

Pin 和 Spin 群是和正交群和特殊正交群关联的独特的拓扑空间,由 Clifford 代数中得出:存在其他类似的群,对于于其他分支的其他二重覆叠或者其他群结构,但是他们不叫做 Pin 或 Spin 群,研究得也少。

结构[编辑]

两个 Pin 群对应于中心扩张

1 \to \{\pm 1\} \to \mbox{Pin}_\pm(V) \to O(V) \to 1

\mbox{Spin}(V)(行列式为 1 的分支)上的群结构已经定义好了;其余分支的群结构由中心确定,从而有一个 \pm 1 分歧。

两个扩张由一个反射的原像的平方是 \pm 1\in \ker \left(\mbox{Spin}(V) \to SO(V)\right) 区分,这两个 Pin 群即是这样命名的。明确地说,一个反射在 O(V) 中的指数为 2,r^2=1,所以反射的原像的平方(具有行列式 1)一定在 \mbox{Spin}_\pm(V) \to SO(V) 的核中,所以 \tilde r^2 = \pm 1,两种选择都确定了一个 Pin 群(因为所有反射共轭于联通群 SO(V) 的中一个元素,所有反射的平方一定具有相同值)。

具体地,在 \mbox{Pin}_+ 中,\tilde r 的指数为 2,子群 \{1,r\} 的原像是 C_2 \times C_2:如果我们重复同一个反射,得到恒同。

\mbox{Pin}_- 中,\tilde r 的指数为 4: 如果重复同一个反射两次,我们得到了一个“旋转 2π”——\mbox{Spin}(V) \to SO(V) 中的非平凡元可以理解为“旋转 2π”(每一个轴得出相同的元素)。

低维数[编辑]

在 2 维,\mbox{Pin}_+\mbox{Pin}_- 的区别反映了一个正 2n 边形的二面体群循环群 C_{2n} 的区别。

\mbox{Pin}_+ 中,一个正 2n 边形的二面体群的原像,视为子群 \mbox{Dih}_n < O(2),是 2n 边形的二面体群 \mbox{Dih}_{2n} < \mbox{Pin}_+(2);然而在 \mbox{Pin}_- 中二面体群的原像是循环群 \mbox{Dic}_n < \mbox{Pin}_-(2)

在 1维,Pin 群共轭于第一个二面体群和循环群:

\begin{align}
\mbox{Pin}_+(1) &\cong C_2 \times C_2 = \mbox{Dih}_1\\
\mbox{Pin}_-(1) &\cong C_4 = \mbox{Dic}_1
\end{align}

中心[编辑]

不定 Pin 群[编辑]

Spin(p,q) 有八种不同的二重覆叠,对 p,q\neq 0,这对应于用 C_2 中心扩张(中心不是 C_2 \times C_2 就是 C_4)。只有其中两个称为 Pin 群,他们可以将 Clifford 代数作为一个表示。他们分别称为 Pin(p,q) 和 Pin(q,p)。

命名[编辑]

这个群的名称在 迈克尔·阿蒂亚拉乌尔·博特、A. Shapiro: Clifford modules(Topology 3, suppl. 1 (1964), pp. 3-38, on page 3, line 17)一文中引入,他们说“这个笑话归于 J-P. Serre”。这是“Spin”的逆构词法:Pin 之于 Spin 就像 O(n) 之于 SO(n),从而从“Spin”中去掉“S”得到“Pin”。进一步,词“Pin”的法语发音和一个粗痞话相同,这暗示了这个名称的起源于(或被归于)塞尔。[3]

参考文献[编辑]

  1. ^ 事实上,他们可以作为 GL(V) 的子集相等而不仅仅是抽象的同构:保持一个形式的算子等且仅当保持其负形式。
  2. ^ 他们是不通代数的子代数 C\ell(n,0) \not\cong C\ell(0,n),但是他们作为向量空间 C\ell(n,0) = C\ell(0,n) = \Lambda^* \mathbf{R}^n 的子集相等,而且带有相同的代数结构,从而他们自然同构。
  3. ^ Pertti Lounesto (04 Dec 1993 09:36:24 GMT). "Re: Math jokes (dirty): Explanation". sci.math. (Web link). .於2007-11-27查閱。 法语俚语“pine”意为“penis”,进一步,当说“Pin 群有 2 部分”(偶部分 Spin 和奇部分)暗示了两者近似的结构比较。