Q-模拟

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数学里,尤其是组合数学特殊函数领域,一个定理、等式或者表达式的q-模拟是指在引入一个新的参数q后当q→1时原定理、等式或表达式的极限。最早地研究得较为深入的q-模拟是 19世纪[1]被引入的基本超几何级数

q-模拟在包括分形多重分形, 混沌动力系统表达在内的多个研究领域都有应用。另外,在量子群q-变形 代数的研究中也有应用。

"经典" q-模拟开始于莱昂哈德·欧拉的研究工作,后来由F. H. Jackson[2] 以及其他人[3]所扩展。

"经典" q-理论[编辑]

经典 q-理论开始于非负整数的q-模拟。[3] 等式

\lim_{q\rightarrow 1}\frac{1-q^n}{1-q}=n

表示定义nq-模拟为

[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q} = 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n - 1}.

阶乘q-模拟,称作q-阶乘,被定义为


\big[n]_q! =[1]_q  \cdot [2]_q \cdots [n-1]_q  \cdot [n]_q

=\frac{1-q}{1-q} \cdot \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \cdot \frac{1-q^n}{1-q}

=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) \cdot (1+q+\cdots + q^{n-1}).


[n]q! 表示逆序对的数目。如果 inv(w)表示全排列w 的逆序对,Sn表示n全排列的集合, 则有

 \sum_{w \in S_n} q^{\text{inv}(w)} = [n]_q ! .

特别地, 当取极限q\rightarrow 1时就得到一般的阶乘公式。

根据q-阶乘, 可以定义 q-二项式系数, 也被称作高斯系数, 高斯多项式, 或[[高斯二项式系数]:


\binom{n}{k}_q
=
\frac{[n]_q!}{[n-k]_q! [k]_q!}.


q-指数定义为:

e_q^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{[n]_q!}.

组合q-模拟[编辑]

高斯二项式系数计算一个有限维向量空间的子空间数。令q表示一个有限域里的元素数目,则在q元有限域上n维向量空间的k维子空间数等于 
\binom nk_q .
q等于1时, 得到二项式系数 
\binom nk.

参考文献[编辑]

  1. ^ Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538
  2. ^ F. H. Jackson (1908), "On q-functions and a certain difference operator", Trans. Roy. Soc. Edin., 46 253-281.
  3. ^ 3.0 3.1 Ernst, Thomas. A Method for q-calculus. Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2003, 10 (4): 487–525 [2011-07-27]. 

外部链接[编辑]