QR分解

QR分解法是一種将矩阵分解的方式。這種方式，把矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的积。QR分解经常用来解线性最小二乘法问题。QR分解也是特定特征值算法即QR算法的基础。

類別及定义

方陣

任何方块矩阵A都可以分解為

$A=QR$

其中Q是正交矩阵（意味着Q^TQ = I）而R是上三角矩阵。如果A是非奇异的，且限定R的对角线元素为正，则这个因数分解是唯一的。

更一般的说，我们可以因数分解复数$m$×$n$矩阵（有着m ≥ n）为$m$×$n$幺正矩阵（在Q ^∗Q = I 的意义上，不需要是方阵）和$n$×$n$上三角矩阵的乘积。对m<n的情况，在Q是$m$×$m$方阵，而R则是$m$×$n$矩阵。

長方形矩陣

更一般地，我們可以將m×n的A矩陣，其中m ≥ n，分解成m×m酉矩阵Q和m×n三角矩陣R的成積。由於m×n上三角矩陣的底部(m−n)行完全由零組成，因此對R或R和Q進行分解通常很有用：

$A=QR=Q{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{1}&Q_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}=Q_{1}R_{1},$

其中R₁是n×n上三角矩陣，0是(m − n)×n零矩陣，Q₁是m×n，Q₂是m×(m − n)，且Q₁和Q₂都是有正交列。

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Golub & Van Loan (1996，§5.2) call Q₁R₁ the thin QR factorization of A; Trefethen and Bau call this the reduced QR factorization. If A is of full rank n and we require that the diagonal elements of R₁ are positive then R₁ and Q₁ are unique, but in general Q₂ is not. R₁ is then equal to the upper triangular factor of the Cholesky decomposition of A* A (= A^TA if A is real).

QL、RQ 和 LQ 分解

类似的，我们可以定义A的QL，RQ和LQ分解。其中L是下三角矩陣。

QR分解的求法

QR分解的实际计算有很多方法，例如Givens旋转、Householder变换，以及Gram-Schmidt正交化等等。每一种方法都有其优点和不足。

参见：格拉姆-施密特正交化

使用Householder变换

Householder变换

Householder变换将一个向量关于某个平面或者超平面进行反射。我们可以利用这个操作对$m\times n(m\geqq n)$的矩阵$A$进行QR分解。

矩阵$Q$可以被用于对一个向量以一种特定的方式进行反射变换，使得它除了一个维度以外的其他所有分量都化为0。

令$\mathbf {x}$为矩阵$A$的任一m维实列向量，且有$\|\mathbf {x} \|=|\alpha |$（其中$\alpha$为标量）。若该算法是通过浮点数实现的，则$\alpha$应当取和$\mathbf {x}$的第$k$维相反的符号（其中$x_{k}$是要保留不为0的项），这样做可以避免精度缺失。对于复数的情况，令

$\alpha =-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \arg x_{k}}\|\mathbf {x} \|$

（Stoer & Bulirsch 2002，p.225），并且在接下来矩阵$Q$的构造中要将矩阵转置替换为共轭转置。

接下来，设$\mathbf {e} _{1}$为单位向量$(1,0,\cdots ,0)^{T}$，||·||为欧几里德范数，$I$为$m\times m$单位矩阵，令

$\mathbf {u} =\mathbf {x} -\alpha \mathbf {e} _{1}$ ，

$\mathbf {v} ={\mathbf {u} \over \|\mathbf {u} \|}$ ，

$Q=I-2\mathbf {v} \mathbf {v} ^{T}$ 。

或者，若$A$为复矩阵，则

$Q=I-(1+w)\mathbf {v} \mathbf {v} ^{H}$，其中$w=\mathbf {x} ^{H}\mathbf {v} \mathbf {/} \mathbf {v} ^{H}\mathbf {x}$

式中$\mathbf {x} ^{H}$是$x$的共轭转置（亦称埃尔米特共轭或埃尔米特转置）。

则$Q$为一个$m\times m$的Householder矩阵，它满足

$Q\mathbf {x} =(\alpha ,0,\cdots ,0)^{T}\$

利用Householder矩阵，可以将一个$m\times n$的矩阵$A'$变换为上三角矩阵。 首先，我们将A左乘通过选取矩阵的第一列得到列向量$x$的Householder矩阵$Q_{1}$。这样，我们得到的矩阵$Q_{1}A$的第一列将全部为0（第一行除外）：

$Q_{1}A={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\star &\dots &\star \\0&&&\\\vdots &&A'&\\0&&&\end{bmatrix}}$

这个过程对于矩阵$A'$（即$Q_{1}A$排除第一行和第一列之后剩下的方阵）还可以继续做下去，从而得到另一个Householder矩阵$Q_{2}$。注意到$Q_{2}$其实比$Q_{1}$要小，因为它是在$Q_{1}A$而非$A$的基础上得到的。因此，我们需要在$Q_{2}$的左上角补上1，或者，更一般地来说：

$Q_{k}={\begin{bmatrix}I_{k-1}&0\\0&Q_{k}'\end{bmatrix}}$

将这个迭代过程进行$t$次之后（$t=\min(m-1,n)$）,将有

$R=Q_{t}\cdots Q_{2}Q_{1}A$

其中R为一个上三角矩阵。因此，令

$Q=Q_{1}^{T}Q_{2}^{T}\cdots Q_{t}^{T},$

则$A=QR$为矩阵$A$的一个QR分解。

相比与Gram-Schmidt正交化，使用Householder变换具有更好的数值稳定性。

例子

现在要用Householder变换求解矩阵$A$的$QR$ 分解。

$A={\begin{bmatrix}0&3&1\\0&4&-2\\2&1&1\\\end{bmatrix}}$

因为$\alpha _{1}=[0,\ 0,\ 2]^{T}$, 令$a_{1}=||\alpha _{1}||_{2}=2$，则

$\omega _{1}={\frac {\alpha _{1}-a_{1}e_{1}}{||\alpha _{1}-a_{1}e_{1}||_{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}[-1,\ 0,\ 1]^{T}$

则有

$H_{1}=I-2\omega _{1}\omega _{1}^{H}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{bmatrix}}$

从而，

$H_{1}A={\begin{bmatrix}2&1&1\\0&4&-2\\0&3&1\\\end{bmatrix}}$

记$\beta =[4,\ 3]^{T}$, 则$b_{1}=||\beta _{2}||_{2}=5$。令

$\omega _{2}={\frac {\beta _{2}-b_{1}e_{1}}{||\beta _{2}-b_{1}e_{1}||_{2}}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}[-1,\ 3]^{T}$

${\hat {H_{2}}}=I-2\omega _{2}\omega ^{H}={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}4&3\\3&-4\\\end{bmatrix}}$

记，

$H_{2}={\begin{bmatrix}1&0^{T}\\0&{\hat {H_{2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {4}{5}}&{\frac {3}{5}}\\0&{\frac {3}{5}}&-{\frac {4}{5}}\\\end{bmatrix}}$

则，

$R=H_{2}(H_{1}A)={\begin{bmatrix}2&1&1\\0&5&-1\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}$

那么

$Q=H_{1}H_{2}={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}0&3&-4\\0&4&3\\5&0&0\\\end{bmatrix}}$

使用吉文斯旋转

吉文斯旋转

吉文斯旋转表示为如下形式的矩阵

$G(i,j,\theta )={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &c&\cdots &-s&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &s&\cdots &c&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

这里的 c = cos(θ) 和 s = sin(θ) 出现在第 i 行和第 j 行与第 i 列和第 j 列的交叉点上。就是说，吉文斯旋转矩阵的所有非零元定义如下：:

${\begin{aligned}g_{k\,k}&{}=1\qquad {\text{for}}\ k\neq i,\,j\\g_{i\,i}&{}=c\\g_{j\,j}&{}=c\\g_{i\,j}&{}=s\\g_{j\,i}&{}=-s\end{aligned}}$

乘积 G(i, j, θ)x 表示向量 x 在 (i,j)平面中的逆时针旋转 θ 弧度。

吉文斯旋转作用于QR分解

对于一个向量

${\begin{array}{lcl}A&=&{\begin{bmatrix}a\\b\\\end{bmatrix}}\\\end{array}}$

如果，$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ , $c={\frac {a}{r}}$ , $s=-{\frac {b}{r}}$ , 那么，就存在旋转矩阵G，使$A$ 底部转成0。

$A_{2\_Sub}={\begin{bmatrix}c&-s\\s&c\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\\0\\\end{bmatrix}}$

每一次的旋转，吉文斯旋转都可以将一个元素化成0，直到将原始矩阵转成一个上三角矩阵，则完成分解。

$A=QR$

$Q=G_{1}^{T}G_{2}^{T}\cdots G_{k}^{T}$

例子

$A_{1}={\begin{bmatrix}6&5&0\\5&1&4\\0&4&3\\\end{bmatrix}}$

$r={\sqrt {6^{2}+5^{2}}}\approx 7.8102$

$c=6/r\approx 0.7682$

$s=-5/r\approx -0.6402$

$A_{2}=G_{1}A_{1}={\begin{bmatrix}c&-s&0\\s&c&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}6&5&0\\5&1&4\\0&4&3\\\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}7.8102&4.4813&2.5607\\0&-2.4327&3.0729\\0&4&3\\\end{bmatrix}}$

对于:$A_{2}$子矩阵 :$A_{2\_Sub}$

$A_{2\_Sub}={\begin{bmatrix}-2.4327&3.0729\\4&3\\\end{bmatrix}}$

$r={\sqrt {(-2.4327)^{2}+4^{2}}}\approx 4.6817$

$c=-2.4327/r\approx -0.5196$

$s=-5/r\approx -0.8544$

$G_{2}A_{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c&-s\\0&s&c\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7.8102&4.4813&2.5607\\0&-2.4327&3.0729\\0&4&3\\\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}7.8102&4.4813&2.5607\\0&4.6817&0.9664\\0&0&-4.1843\\\end{bmatrix}}$

$R=G_{2}A_{2}=G_{2}G_{1}A_{1}$

$Q=G_{1}^{T}G_{2}^{T}={\begin{bmatrix}0.7682&0.3327&0.5470\\0.6402&-0.3992&-0.6564\\0&0.8544&-0.5196\\\end{bmatrix}}$

使用格拉姆-施密特正交化方法

基本思想

图1 ${\boldsymbol {v}}$在${\boldsymbol {V}}^{2}$上投影，构造${\boldsymbol {V}}^{3}$上的正交基${\boldsymbol {\beta }}$

格拉姆-施密特正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。

设${\boldsymbol {v}}\in {\boldsymbol {V^{n}}}$。${\boldsymbol {V}}^{k}$是${\boldsymbol {V}}^{n}$上的$k$维子空间，其标准正交基为$\{{\boldsymbol {\eta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\eta }}_{k}\}$，且${\boldsymbol {v}}$不在${\boldsymbol {V}}^{k}$上。由投影原理知，${\boldsymbol {v}}$与其在${\boldsymbol {V}}^{k}$上的投影$\mathrm {proj} _{\boldsymbol {V^{k}}}{\boldsymbol {v}}$之差

${\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {v}}-\sum _{i=1}^{k}\mathrm {proj} _{{\boldsymbol {\eta }}_{i}}\,{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}-\sum _{i=1}^{k}\langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {\eta }}_{i}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{i}$

是正交于子空间${\boldsymbol {V}}^{k}$的，亦即${\boldsymbol {\beta }}$正交于${\boldsymbol {V}}^{k}$的正交基${\boldsymbol {\eta }}_{i}$。因此只要将${\boldsymbol {\beta }}$单位化，即

${\boldsymbol {\eta }}_{k+1}={\frac {\boldsymbol {\beta }}{\|{\boldsymbol {\beta }}\|}}={\frac {\boldsymbol {\beta }}{\sqrt {\langle {\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {\beta }}\rangle }}}$

那么$\{{\boldsymbol {\eta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\eta }}_{k},{\boldsymbol {\eta }}_{k+1}\}$就是${\boldsymbol {V}}^{k}$在${\boldsymbol {v}}$上扩展的子空间$\mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {\eta }}_{1},...,{\boldsymbol {\eta }}_{k}\}$的标准正交基。

根据上述分析，对于向量组$\{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{m}\}$张成的空间${\boldsymbol {V}}^{m}$ ($m<n$)，只要从其中一个向量（不妨设为${\boldsymbol {v}}_{1}$）所张成的一维子空间$\mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}}_{1}\}$开始（注意到${\boldsymbol {v}}_{1}$就是$\mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}}_{1}\}$的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到${\boldsymbol {V}}^{n}$ 的一组正交基。这就是格拉姆-施密特正交化。

格拉姆-施密特正交化算法

首先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为$\{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}\}$。Gram-Schmidt正交化的过程如下：

	${\boldsymbol {\beta }}_{1}={\boldsymbol {v}}_{1},$		${\boldsymbol {\eta }}_{1}={{\boldsymbol {\beta }}_{1} \over \|{\boldsymbol {\beta }}_{1}\|}$
	${\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {v}}_{2}-\langle {\boldsymbol {v}}_{2},{\boldsymbol {\eta }}_{1}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{1},$		${\boldsymbol {\eta }}_{2}={{\boldsymbol {\beta }}_{2} \over \|{\boldsymbol {\beta }}_{2}\|}$
	${\boldsymbol {\beta }}_{3}={\boldsymbol {v}}_{3}-\langle {\boldsymbol {v}}_{3},{\boldsymbol {\eta }}_{1}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{1}-\langle {\boldsymbol {v}}_{3},{\boldsymbol {\eta }}_{2}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{2},$		${\boldsymbol {\eta }}_{3}={{\boldsymbol {\beta }}_{3} \over \|{\boldsymbol {\beta }}_{3}\|}$
	$\vdots$		$\vdots$
	${\boldsymbol {\beta }}_{n}={\boldsymbol {v}}_{n}-\sum _{i=1}^{n-1}\langle {\boldsymbol {v}}_{n},{\boldsymbol {\eta }}_{i}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{i},$		${\boldsymbol {\eta }}_{n}={{\boldsymbol {\beta }}_{n} \over \|{\boldsymbol {\beta }}_{n}\|}$

这样就得到$\mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}\}$上的一组正交基$\{{\boldsymbol {\beta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\beta }}_{n}\}$，以及相应的标准正交基$\{{\boldsymbol {\eta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\eta }}_{n}\}$。

例子

现在要用格拉姆-施密特变换求解矩阵$A$的$QR$ 分解。

$A={\begin{bmatrix}1&2&4\\0&0&5\\0&3&6\\\end{bmatrix}}$

令， $a=[1,0,0]$

$q_{1}={\frac {a}{||a||}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}$

${\hat {q_{2}}}=b-(b*q_{1})q_{1}={\begin{bmatrix}2\\0\\3\\\end{bmatrix}}-2{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\3\\\end{bmatrix}}$

$q_{2}={\frac {\hat {q_{2}}}{||{\hat {q_{2}}}||}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\\end{bmatrix}}$

${\hat {q_{3}}}=c-(c*q_{1})q_{1}-(c*q_{2})q_{2}={\begin{bmatrix}4\\5\\6\\\end{bmatrix}}-4{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}-6{\begin{bmatrix}0\\0\\1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\5\\0\\\end{bmatrix}}$

$q_{3}={\frac {\hat {q_{3}}}{||{\hat {q_{3}}}||}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\end{bmatrix}}$

那么可知，

$Q={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{bmatrix}}$

由$A=QR$，可知，

$R={\begin{bmatrix}1&2&4\\0&3&6\\0&0&5\\\end{bmatrix}}$

Matlab

MATLAB以qr函数来执行QR分解法，其语法为

$[Q,R]=qr(A)$

其中Q代表正规正交矩阵，

而R代表上三角形矩阵。

此外，原矩阵A不必为正方矩阵； 如果矩阵A大小为$m\times n$，则矩阵Q大小为$m\times m$，矩阵R大小为$m\times n$。

用途

解线性方程组

对于直接求解线性方程组的逆，用QR分解的方法求解会更具有数据的稳定性。 对于求解一个线性系统$Ax=b$, 这里$A$的维度是$m\times n$。

如果$m\leq n$, 那么$A^{T}=QR$,这里$Q^{T}=Q^{-1}$)。

$R$ 的形式是 $R={\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}$，$R_{1}$是$R$上不为0的部分。 那么对于

$x=Q{\begin{bmatrix}\left(R_{1}^{\textsf {T}}\right)^{-1}b\\0\end{bmatrix}}$

如果$m>n$, 那么$A=QR$,这里$Q^{T}=Q^{-1}$)。本质是最小化$||A{\hat {x}}-b||$

${\hat {x}}=R_{1}^{-1}\left(Q_{1}^{\textsf {T}}b\right)$

外部連結

• MIT. QR Decomposition. Youtube. [2020-07-01]. （原始内容存档于2020-07-27）. 
• Poujh. QR Decomposition Givens旋转. Youtube. [2020-07-01]. （原始内容存档于2020-09-01）.