QR分解

QR分解法是三種将矩阵分解的方式之一。這種方式，把矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的积。QR 分解经常用来解线性最小二乘法问题。QR 分解也是特定特征值算法即QR算法的基础。

定义

实数矩阵 A 的 QR 分解是把 A 分解为

$A = QR, \,$

这里的 Q 是正交矩阵（意味着 Q^TQ = I）而 R 是上三角矩阵。类似的，我们可以定义 A 的 QL, RQ 和 LQ 分解。

更一般的说，我们可以因数分解复数 $m$×$n$ 矩阵（有着 m ≥ n）为 $m$×$n$ 酉矩阵（在 Q^∗Q = I 的意义上）和 $n$×$n$ 上三角矩阵的乘积。

如果 A 是非奇异的，则这个因数分解为是唯一，当我们要求 R 的对角是正数的时候。

QR分解的求法

QR分解的实际计算有很多方法，例如Givens旋转、Householder变换，以及Gram-Schmidt正交化等等。每一种方法都有其优点和不足。

Gram-Schmidt正交化

参见Gram-Schmidt正交化

MatLab

MATLAB以qr函数来执行QR分解法，其语法为

[Q,R]=qr(A)

其中Q代表正规正交矩阵，

而R代表上三角形矩阵。

此外，原矩阵A不必为正方矩阵； 如果矩阵A大小为n*m，则矩阵Q大小为n*n，矩阵R大小为n*m。