RLC电路

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RLC电路是一种由电阻(R)、电感(L)、电容(C)组成的电路结构。LC电路是其简单的例子。RLC电路也被称为二阶电路,电路中的电压或者电流是一個二阶微分方程的解,而其係數是由电路结构决定。

若电路元件都视为线性元件时,一个RLC电路可以被视作电子谐波振荡器

这种电路的固有频率一般表示为:(单位:赫兹Hz)


f_c = {1 \over 2 \pi \sqrt{L C}}

RLC电路常用來作带通滤波器带阻滤波器,其Q因子可以由下式得到:


Q = {f_c \over B_W} = {2 \pi f_c L \over R} = {1 \over \sqrt{R^2 C / L}}

RLC电路的组成结构一般有两种:分別是串联型及并联型。

RLC串聯電路[编辑]

RLC series circuit v1.svg
圖 1. RLC串聯電路
V - 電源電壓
I - 電路電流
R - 電阻
L - 電感
C - 電容


在此电路中,三个元件均与电压以串联方式连接。其主要的微分方程可将三个元件的本构方程英语constitutive equation代入基尔霍夫电压定律(KVL)获得。由基尔霍夫电压定律:


v_R+v_L+v_C=v(t) \,

其中\textstyle v_R, v_L, v_C分别为R、L、C两端的电压,\textstyle v(t)为随时间变化的电源的电压。将本构方程代入得到:


Ri(t) + L { {di} \over {dt}} + {1 \over C} \int_{-\infty}^{\tau=t} i(\tau)\, d\tau = v(t)

在电源电压为常数的情况下,对上式求导,并且除以L,得到以下二阶微分方程


{{d^2 i(t)} \over {dt^2}} +{R \over L} {{di(t)} \over {dt}} + {1 \over {LC}} i(t) = 0

此方程可以写成更常用的形式:


{{d^2 i(t)} \over {dt^2}} + 2 \alpha {{di(t)} \over {dt}} + {\omega_0}^2 i(t) = 0

 \alpha \,称为“衰减量”,用于衡量当移除外部輸入后,此电路的瞬态响应衰减的速度。 \omega_0 \,为角共振频率。[1]此二系数由下式给出:[2]

\alpha = {R \over 2L}  \omega_0 = { 1 \over \sqrt{LC}}

阻尼系数 \zeta 是另一个常用的参数,定义为 \alpha \, \omega_0 \,的比值:

 \zeta = \frac {\alpha}{\omega_0}

阻尼系数也可以由R、L、C求得:

\zeta = {R \over 2} \sqrt{C\over L}

瞬态响应[编辑]

根据不同的阻尼系数 \zeta 的值,该微分方程的解法有三种不同的情况,分别为:欠阻尼 \scriptstyle \zeta < 1 \,),过阻尼 \scriptstyle \zeta > 1 \,),以及临界阻尼 \scriptstyle \zeta = 1 \,)。该微分方程的特征方程为:

 s^2 + 2 \alpha s + {\omega_0}^2 = 0

该方程的根为:

 s_1 = -\alpha +\sqrt {\alpha^2 - {\omega_0}^2}
 s_2 = -\alpha -\sqrt {\alpha^2 - {\omega_0}^2}

该微分方程的通解为两根指数函数的线性叠加:

 i(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}

系数A1以及 A2由具体问题的边界条件给出。

过阻尼响应[编辑]

过阻尼响应( \scriptstyle \zeta > 1 \,)为:[3]

 i(t) = A_1 e^{-\omega_0(\zeta + \sqrt {\zeta^2 - 1}) t} + A_2 e^{-\omega_0(\zeta - \sqrt {\zeta^2 - 1}) t}

过阻尼响应是一个瞬态电流无振荡的衰减。[4]

欠阻尼响应[编辑]

欠阻尼响应( \scriptstyle \zeta < 1 \,)为:[5]

 i(t) = B_1 e^{-\alpha t} \cos (\omega_d t) + B_2 e^{-\alpha t} \sin (\omega_d t) \,

通过三角恒等式,这两个三角函数可用一个有相位正弦函数表达:[6]

 i(t) = B_3 e^{-\alpha t} \sin (\omega_d t + \varphi) \,

欠阻尼响应是一个频率为\omega_d \,的衰减的振荡。B1 以及B2 (或第二种形式中的 B3 以及相位差 \varphi \,)为任意常数,由边界条件确定。

频率\omega_0 \,由下式给出:[5]

 \omega_d = \sqrt { {\omega_0}^2 - \alpha^2 } = \omega_0 \sqrt {1 - \zeta^2}


临界阻尼响应[编辑]

临界阻尼响应( \scriptstyle \zeta = 1 \,)为:[7]

 i(t) = D_1 t e^{-\alpha t} + D_2 e^{-\alpha t} \,

拉普拉斯域[编辑]

可以利用拉普拉斯轉換分析RLC串聯電路的交流暫態及穩態行為[8]。若上述電壓源產生的波形,在拉普拉斯轉換後為V(s)(其中s複頻率英语S planes = \sigma + i \omega \,),則在拉普拉斯域中應用基爾霍夫電壓定律

V(s) = I(s) \left ( R + Ls + \frac{1}{Cs} \right )

其中I(s)為拉普拉斯轉換後的電流,求解I(s):

I(s) = \frac{1}{ R + Ls + \frac{1}{Cs} } V(s)

在重新整理後,可以得到下式:

I(s) = \frac{s}{ L \left ( s^2 + {R \over L}s + \frac{1}{LC} \right ) } V(s)

拉普拉斯导纳[编辑]

求解拉普拉斯导纳Y(s):

 Y(s) = { I(s) \over V(s) } = \frac{s}{ L \left ( s^2 + {R \over L}s + \frac{1}{LC} \right ) }

可以利用以上章節定義的參數α及ωo來簡化上式,可得:

 Y(s) = { I(s) \over V(s) } = \frac{s}{ L \left ( s^2 + 2 \alpha s + {\omega_0}^2 \right ) }

極點和零點[编辑]

Y(s) 的零点是使得Y(s) = 0s

 s  =  0 \,     及      |s| \rightarrow \infty

Y(s) 的极点是使得Y(s)\rightarrow \inftys,求解二次方程,可得:

 s = - \alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - {\omega_0}^2}

Y(s)的极點即為前文中提到微分方程之特徵方程的根s_1s_2

RLC並聯電路[编辑]

RLC parallel circuit
圖 2. RLC 並聯電路
V - 電源電壓
I - 電路電流
R - 電阻
L - 電感
C - 電容

RLC並聯電路的特性可以利用電路的對偶性英语Duality (electrical circuits),將RLC並聯電路視為RLC串聯電路的對偶阻抗英语dual impedance來處理,就可以用類似RLC串聯電路的分析方式來分析RLC並聯電路。

RLC並聯電路的衰减量 \alpha \,可以用下式求得[9]

 \alpha =  {1 \over 2RC }

而其阻尼系数為:

\zeta =  {1 \over 2R}\sqrt{L\over C}

若不考慮1/2的係數,RLC並聯電路的阻尼系数恰好是RLC串聯電路阻尼系数的倒數。

頻域[编辑]

將並聯各元件的導納相加,即為此電路的導納:

{1\over Z}=  {1\over Z_L}+{1\over Z_C}+{1\over Z_R}=  {1\over{j\omega L}}+{j\omega C}+{1\over R}

電容、電阻及電感並聯後,在共振頻率的阻抗為最大值,和電容、電阻及電感串聯的情形恰好相反,RLC並聯電路是抗共振電路(antiresonator)。

若用定電壓驅動時,電流的頻率響應在共振頻率\omega_0={1\over\sqrt{LC}}處有最小值。若用定電流驅動,電壓的頻率響應在共振頻率處有最大值,和RLC串聯電路中,電流的頻率響應圖形類似。

参见[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Nilsson and Riedel, p.308.
  2. ^ Agarwal and Lang, p.641.
  3. ^ Irwin, p.532.
  4. ^ Agarwal and Lang, p.648.
  5. ^ 5.0 5.1 Nilsson and Riedel, p.295.
  6. ^ Humar, pp.223-224.
  7. ^ Nilsson and Riedel, p.303.
  8. ^ 本章節是Lokenath Debnath, Dambaru Bhatta, Integral transforms and their applications, 2nd ed. Chapman & Hall/CRC, 2007, ISBN 1-58488-575-0,198-202頁的Example 4.2.13為基礎,不過為了和本文用的符號一致,有修改其中部份標示
  9. ^ Nilsson and Riedel, p.286.
  • Anant Agarwal, Jeffrey H. Lang, Foundations of analog and digital electronic circuits, Morgan Kaufmann, 2005 ISBN 1-55860-735-8.
  • J. L. Humar, Dynamics of structures, Taylor & Francis, 2002 ISBN 90-5809-245-3.
  • J. David Irwin, Basic engineering circuit analysis, Wiley, 2006 ISBN 7-302-13021-3.
  • Kenneth L. Kaiser, Electromagnetic compatibility handbook, CRC Press, 2004 ISBN 0-8493-2087-9.
  • James William Nilsson, Susan A. Riedel, Electric circuits, Prentice Hall, 2008 ISBN 0-13-198925-1.

外部連結[编辑]