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RLC电路

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串联RLC电路:电阻、电感和电容

RLC电路是一种由电阻(R)、电感(L)、电容(C)组成的电路结构。LC电路是其简单的例子。RLC电路也被称为二阶电路,电路中的电压或者电流是一個二阶微分方程的解,而其係數是由电路结构决定。

若电路元件都视为线性元件时,一个RLC电路可以被视作电子谐波振荡器

这种电路的固有频率一般表示为:(单位:赫兹Hz)


f_c = {1 \over 2 \pi \sqrt{L C}}

RLC电路常用來作带通滤波器带阻滤波器,其Q因子可以由下式得到:


Q = {f_c \over B_W} = {2 \pi f_c L \over R} = {1 \over \sqrt{R^2 C / L}}

RLC电路的组成结构一般有两种:分別是串联型及并联型。

动画演示了LC电路(无电阻的RLC电路)的工作。电荷在电容器极板和电感之间来回传递。能量在电容器的电场 (E) 和电感的磁场 (B) 之间来回振荡。 RLC电路工作情况类似,不同之处在于,由于电路中的电阻,随着时间变化振荡电流衰减至零。

RLC串聯電路[编辑]

圖 1. RLC串聯電路
V - 電源電壓
I - 電路電流
R - 電阻
L - 電感
C - 電容

在此电路中,三个元件均与电压以串联方式连接。其主要的微分方程可将三个元件的本构方程英语constitutive equation代入基尔霍夫电压定律(KVL)获得。由基尔霍夫电压定律:


v_R+v_L+v_C=v(t) \,

其中\textstyle v_R, v_L, v_C分别为R、L、C两端的电压,\textstyle v(t)为随时间变化的电源的电压。将本构方程代入得到:


Ri(t) + L { {di} \over {dt}} + {1 \over C} \int_{-\infty}^{\tau=t} i(\tau)\, d\tau = v(t)

在电源电压为常数的情况下,对上式求导,并且除以L,得到以下二阶微分方程


{{d^2 i(t)} \over {dt^2}} +{R \over L} {{di(t)} \over {dt}} + {1 \over {LC}} i(t) = 0

此方程可以写成更常用的形式:


{{d^2 i(t)} \over {dt^2}} + 2 \alpha {{di(t)} \over {dt}} + {\omega_0}^2 i(t) = 0

 \alpha \,称为“衰减量”,用于衡量当移除外部輸入后,此电路的瞬态响应衰减的速率。 \omega_0 \,为角共振频率。[1]此二系数由下式给出:[2]

\alpha = {R \over 2L}  \omega_0 = { 1 \over \sqrt{LC}}

阻尼系数 \zeta 是另一个常用的参数,定义为 \alpha \, \omega_0 \,的比值:

 \zeta = \frac {\alpha}{\omega_0}

阻尼系数也可以由R、L、C求得:

\zeta = {R \over 2} \sqrt{C\over L}

瞬态响应[编辑]

图中显示了串联RLC电路的欠阻尼和过阻尼响应。临界阻尼是用粗红色曲线画出的。这些作图统一都是在 L = 1, C = 1 且  \scriptstyle \omega_0 = 1 \, 情况下。

根据不同的阻尼系数 \zeta 的值,该微分方程的解法有三种不同的情况,分别为:欠阻尼 \scriptstyle \zeta < 1 \,),过阻尼 \scriptstyle \zeta > 1 \,),以及临界阻尼 \scriptstyle \zeta = 1 \,)。该微分方程的特征方程为:

 s^2 + 2 \alpha s + {\omega_0}^2 = 0

该方程的根为:

 s_1 = -\alpha +\sqrt {\alpha^2 - {\omega_0}^2}
 s_2 = -\alpha -\sqrt {\alpha^2 - {\omega_0}^2}

该微分方程的通解为两根指数函数的线性叠加:

 i(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}

系数A1以及 A2由具体问题的边界条件给出。

过阻尼响应[编辑]

过阻尼响应( \scriptstyle \zeta > 1 \,)为:[3]

 i(t) = A_1 e^{-\omega_0(\zeta + \sqrt {\zeta^2 - 1}) t} + A_2 e^{-\omega_0(\zeta - \sqrt {\zeta^2 - 1}) t}

过阻尼响应是一个瞬态电流无振荡的衰减。[4]

欠阻尼响应[编辑]

欠阻尼响应( \scriptstyle \zeta < 1 \,)为:[5]

 i(t) = B_1 e^{-\alpha t} \cos (\omega_d t) + B_2 e^{-\alpha t} \sin (\omega_d t) \,

通过三角恒等式,这两个三角函数可用一个有相位正弦函数表达:[6]

 i(t) = B_3 e^{-\alpha t} \sin (\omega_d t + \varphi) \,

欠阻尼响应是一个频率为\omega_d \,的衰减的振荡。振荡衰减的速率为\alpha。指数里的\alpha描述了振荡的包络函数B1 以及B2 (或第二种形式中的 B3 以及相位差 \varphi \,)为任意常数,由边界条件确定。频率\omega_d \,由下式给出:[5]

 \omega_d = \sqrt { {\omega_0}^2 - \alpha^2 } = \omega_0 \sqrt {1 - \zeta^2}

这就是所谓的阻尼共振频率或阻尼固有频率。它是电路在无外部源驱动时自然振动的频率。谐振频率\omega_0 \,是电路在有外部源驱动时的谐振频率,为了便于区分常称作无阻尼谐振频率。[7]

临界阻尼响应[编辑]

临界阻尼响应( \scriptstyle \zeta = 1 \,)为:[8]

 i(t) = D_1 t e^{-\alpha t} + D_2 e^{-\alpha t} \,

拉普拉斯域[编辑]

可以利用拉普拉斯轉換分析RLC串聯電路的交流暫態及穩態行為[9]。若上述電壓源產生的波形,在拉普拉斯轉換後為V(s)(其中s複頻率英语S planes = \sigma + i \omega \,),則在拉普拉斯域中應用基爾霍夫電壓定律

V(s) = I(s) \left ( R + Ls + \frac{1}{Cs} \right )

其中I(s)為拉普拉斯轉換後的電流,求解I(s):

I(s) = \frac{1}{ R + Ls + \frac{1}{Cs} } V(s)

在重新整理後,可以得到下式:

I(s) = \frac{s}{ L \left ( s^2 + {R \over L}s + \frac{1}{LC} \right ) } V(s)

拉普拉斯导纳[编辑]

求解拉普拉斯导纳Y(s):

 Y(s) = { I(s) \over V(s) } = \frac{s}{ L \left ( s^2 + {R \over L}s + \frac{1}{LC} \right ) }

可以利用以上章節定義的參數α及ωo來簡化上式,可得:

 Y(s) = { I(s) \over V(s) } = \frac{s}{ L \left ( s^2 + 2 \alpha s + {\omega_0}^2 \right ) }

極點和零點[编辑]

Y(s) 的零点是使得Y(s) = 0s

 s  =  0 \,     及      |s| \rightarrow \infty

Y(s) 的极点是使得Y(s)\rightarrow \inftys,求解二次方程,可得:

 s = - \alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - {\omega_0}^2}

Y(s)的极點即為前文中提到微分方程之特徵方程的根s_1s_2

正弦稳态[编辑]

正弦稳态可通过令 s = j \omega 来表示,其中j虚数单位

将此代入上面方程的幅值中:

\displaystyle | Y(s=j \omega) | = \frac{1}{\sqrt{ R^2 + \left ( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right )^2 }}.

ω 为变量的电流的函数为

\displaystyle | I( j \omega  ) |  = | Y(j \omega) | | V(j \omega) |.\,

有一个峰值|I (j \omega)|。在此特殊情况下,这个峰值中的 ω 等于无阻尼固有谐振频率:[10]

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C}}.

RLC並聯電路[编辑]

圖 5. RLC 並聯電路
V - 電源電壓
I - 電路電流
R - 電阻
L - 電感
C - 電容

RLC並聯電路的特性可以利用電路的對偶性英语Duality (electrical circuits),將RLC並聯電路視為RLC串聯電路的對偶阻抗英语dual impedance來處理,就可以用類似RLC串聯電路的分析方式來分析RLC並聯電路。

RLC並聯電路的衰减量 \alpha \,可以用下式求得[11]

 \alpha =  {1 \over 2RC }

而其阻尼系数為:

\zeta =  {1 \over 2R}\sqrt{L\over C}

若不考慮1/2的係數,RLC並聯電路的阻尼系数恰好是RLC串聯電路阻尼系数的倒數。

頻域[编辑]

圖 6. 正弦稳态分析
R = 1 歐姆、C = 1 法拉、L = 1 亨利、V = 1.0 伏特來進行正規化

將並聯各元件的導納相加,即為此電路的導納:

{1\over Z}=  {1\over Z_L}+{1\over Z_C}+{1\over Z_R}=  {1\over{j\omega L}}+{j\omega C}+{1\over R}

電容、電阻及電感並聯後,在共振頻率的阻抗為最大值,和電容、電阻及電感串聯的情形恰好相反,RLC並聯電路是抗共振電路(antiresonator)。

右圖中可以看出若用定電壓驅動時,電流的頻率響應在共振頻率\omega_0={1\over\sqrt{LC}}處有最小值。若用定電流驅動,電壓的頻率響應在共振頻率處有最大值,和RLC串聯電路中,電流的頻率響應圖形類似。

其他构造[编辑]

图7 RLC并联电路,电阻和电感串联
图8 RLC串联电路,电阻和电容并联

如图7所示,电阻与电感串联的并联LC电路是有必要考虑到线圈卷线的电阻时经常遇到的一种拓扑结构。并联LC电路经常用于带通滤波中,而 Q 因子主要由此电阻决定。电路的谐振频率为,[12]

\omega_0 = \sqrt {\frac{1}{LC} - \left ( \frac{R}{L} \right )^2}

这是电路的谐振频率,定义为导纳虚部为零时的频率。在特征方程的一般形式(此电路与之前的相同)中出现的频率

 s^2 + 2 \alpha s + {\omega'_0}^2 = 0

不是相同的频率。在这种情况下是固有的无阻尼谐振频率[13]

 \omega'_0 = \sqrt \frac {1}{LC}

阻抗幅值最大时的频率\omega_m为,[14]

 \omega_m =\omega'_0\sqrt{\frac{-1}{Q^2_L}+\sqrt{1+\frac{2} {Q^2_L}}}

其中Q_L=\frac{\omega'_0L} {R}是线圈的品质因数。这可以下式很好地近似[14]

 \omega_m \approx \omega'_0 \sqrt{1-\frac {1} {2Q^4_L} }

此外,精确的最大阻抗幅值由下式给出,[14]

|Z|_{max}=RQ^2_L \sqrt{\frac{1} {2Q_L\sqrt{Q^2_L+2}-2Q^2_L-1}} .

Q_L 值比1大时,可以用下式很好地近似[14]

|Z|_{max} \approx {RQ^2_L}.

同样,电阻与电容并联的串联LC电路可用于有耗介质的电容器。这种构造如图8所示。在这种情况下谐振频率(阻抗的虚部为零时的频率),由下式给出,[15]

 \omega_0 = \sqrt {\frac{1}{LC}-\frac{1}{(RC)^2}}

而阻抗幅值最大时的频率\omega_m

 \omega_m =\omega'_0\sqrt{\frac{-1}{Q^2_C}+\sqrt{1+\frac{2} {Q^2_C}}}

其中Q_C=\omega'_0 {R}{C}

参见[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Nilsson and Riedel, p.308.
  2. ^ Agarwal and Lang, p.641.
  3. ^ Irwin, p.532.
  4. ^ Agarwal and Lang, p.648.
  5. ^ 5.0 5.1 Nilsson and Riedel, p.295.
  6. ^ Humar, pp.223-224.
  7. ^ Agarwal and Lang, p. 692.
  8. ^ Nilsson and Riedel, p.303.
  9. ^ 本章節是Lokenath Debnath, Dambaru Bhatta, Integral transforms and their applications, 2nd ed. Chapman & Hall/CRC, 2007, ISBN 1-58488-575-0,198-202頁的Example 4.2.13為基礎,不過為了和本文用的符號一致,有修改其中部份標示
  10. ^ Kumar and Kumar, Electric Circuits & Networks, p. 464.
  11. ^ Nilsson and Riedel, p.286.
  12. ^ Kaiser, pp. 5.26–5.27.
  13. ^ Agarwal and Lang, p. 805.
  14. ^ 14.0 14.1 14.2 14.3 Cartwright, K. V.; Joseph, E. and Kaminsky, E. J. Finding the exact maximum impedance resonant frequency of a practical parallel resonant circuit without calculus. The Technology Interface International Journal. 2010, 11 (1): 26–34. 
  15. ^ Kaiser, pp. 5.25–5.26.

文献目录[编辑]

  • Anant Agarwal, Jeffrey H. Lang, Foundations of analog and digital electronic circuits, Morgan Kaufmann, 2005 ISBN 1-55860-735-8.
  • J. L. Humar, Dynamics of structures, Taylor & Francis, 2002 ISBN 90-5809-245-3.
  • J. David Irwin, Basic engineering circuit analysis, Wiley, 2006 ISBN 7-302-13021-3.
  • Kenneth L. Kaiser, Electromagnetic compatibility handbook, CRC Press, 2004 ISBN 0-8493-2087-9.
  • James William Nilsson, Susan A. Riedel, Electric circuits, Prentice Hall, 2008 ISBN 0-13-198925-1.

外部連結[编辑]