RLC电路

RLC电路是一种由电阻（R）、电感（L）、电容（C）组成的电路结构。LC电路是其简单的例子。RLC电路也被称为二阶电路，电路中的电压或者电流是一個二阶微分方程的解，而其係數是由电路结构决定。

若电路元件都视为线性元件时，一个RLC电路可以被视作电子谐波振荡器。

这种电路的固有频率一般表示为：（单位：赫兹Hz）

$f_c = {1 \over 2 \pi \sqrt{L C}}$

RLC电路常用來作带通滤波器或带阻滤波器，其Q因子可以由下式得到：

$Q = {f_c \over B_W} = {2 \pi f_c L \over R} = {1 \over \sqrt{R^2 C / L}}$

RLC电路的组成结构一般有两种：分別是串联型及并联型。

RLC串聯電路

圖 1. RLC串聯電路

V - 電源電壓 I - 電路電流 R - 電阻 L - 電感 C - 電容

在此电路中，三个元件均与电压以串联方式连接。其主要的微分方程可将三个元件的本构方程代入基尔霍夫电压定律（KVL）获得。由基尔霍夫电压定律：

$v_R+v_L+v_C=v(t) \,$

其中$\textstyle v_R, v_L, v_C$分别为R、L、C两端的电压，$\textstyle v(t)$为随时间变化的电源的电压。将本构方程代入得到：

$Ri(t) + L { {di} \over {dt}} + {1 \over C} \int_{-\infty}^{\tau=t} i(\tau)\, d\tau = v(t)$

在电源电压为常数的情况下，对上式求导，并且除以L，得到以下二阶微分方程：

${{d^2 i(t)} \over {dt^2}} +{R \over L} {{di(t)} \over {dt}} + {1 \over {LC}} i(t) = 0$

此方程可以写成更常用的形式：

${{d^2 i(t)} \over {dt^2}} + 2 \alpha {{di(t)} \over {dt}} + {\omega_0}^2 i(t) = 0$

$\alpha \,$称为“衰减量”，用于衡量当移除外部輸入后，此电路的瞬态响应衰减的速度。$\omega_0 \,$为角共振频率。此二系数由下式给出：

$\alpha = {R \over 2L}$ ， $\omega_0 = { 1 \over \sqrt{LC}}$

阻尼系数$\zeta$是另一个常用的参数，定义为$\alpha \,$与$\omega_0 \,$的比值：

$\zeta = \frac {\alpha}{\omega_0}$

阻尼系数也可以由R、L、C求得：

$\zeta = {R \over 2} \sqrt{C\over L}$

瞬态响应

根据不同的阻尼系数$\zeta$的值，该微分方程的解法有三种不同的情况，分别为：欠阻尼（$\scriptstyle \zeta < 1 \,$），过阻尼（$\scriptstyle \zeta > 1 \,$），以及临界阻尼（$\scriptstyle \zeta = 1 \,$）。该微分方程的特征方程为：

$s^2 + 2 \alpha s + {\omega_0}^2 = 0$

该方程的根为：

$s_1 = -\alpha +\sqrt {\alpha^2 - {\omega_0}^2}$

$s_2 = -\alpha -\sqrt {\alpha^2 - {\omega_0}^2}$

该微分方程的通解为两根指数函数的线性叠加：

$i(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}$

系数A₁以及 A₂由具体问题的边界条件给出。

过阻尼响应

过阻尼响应（$\scriptstyle \zeta > 1 \,$）为：

$i(t) = A_1 e^{-\omega_0(\zeta + \sqrt {\zeta^2 - 1}) t} + A_2 e^{-\omega_0(\zeta - \sqrt {\zeta^2 - 1}) t}$

过阻尼响应是一个瞬态电流无振荡的衰减。

欠阻尼响应

欠阻尼响应（$\scriptstyle \zeta < 1 \,$）为：

$i(t) = B_1 e^{-\alpha t} \cos (\omega_d t) + B_2 e^{-\alpha t} \sin (\omega_d t) \,$

通过三角恒等式，这两个三角函数可用一个有相位的正弦函数表达：

$i(t) = B_3 e^{-\alpha t} \sin (\omega_d t + \varphi) \,$

欠阻尼响应是一个频率为$\omega_d \,$的衰减的振荡。B₁ 以及B₂ （或第二种形式中的 B₃ 以及相位差 $\varphi \,$）为任意常数，由边界条件确定。

频率$\omega_0 \,$由下式给出：

$\omega_d = \sqrt { {\omega_0}^2 - \alpha^2 } = \omega_0 \sqrt {1 - \zeta^2}$

临界阻尼响应

临界阻尼响应（$\scriptstyle \zeta = 1 \,$）为：

$i(t) = D_1 t e^{-\alpha t} + D_2 e^{-\alpha t} \,$

拉普拉斯域

可以利用拉普拉斯轉換分析RLC串聯電路的交流暫態及穩態行為。若上述電壓源產生的波形，在拉普拉斯轉換後為V(s)（其中s為複頻率$s = \sigma + i \omega \,$），則在拉普拉斯域中應用基爾霍夫電壓定律：

$V(s) = I(s) \left ( R + Ls + \frac{1}{Cs} \right )$

其中I(s)為拉普拉斯轉換後的電流，求解I(s)：

$I(s) = \frac{1}{ R + Ls + \frac{1}{Cs} } V(s)$

在重新整理後，可以得到下式：

$I(s) = \frac{s}{ L \left ( s^2 + {R \over L}s + \frac{1}{LC} \right ) } V(s)$

拉普拉斯导纳

求解拉普拉斯导纳Y(s)：

$Y(s) = { I(s) \over V(s) } = \frac{s}{ L \left ( s^2 + {R \over L}s + \frac{1}{LC} \right ) }$

可以利用以上章節定義的參數α及ω_o來簡化上式，可得：

$Y(s) = { I(s) \over V(s) } = \frac{s}{ L \left ( s^2 + 2 \alpha s + {\omega_0}^2 \right ) }$

極點和零點

Y(s) 的零点是使得$Y(s) = 0$ 的s：

$s = 0 \,$     及     $|s| \rightarrow \infty$

Y(s) 的极点是使得$Y(s)\rightarrow \infty$ 的s，求解二次方程，可得：

$s = - \alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - {\omega_0}^2}$

Y(s)的极點即為前文中提到微分方程之特徵方程的根$s_1$及$s_2$。

RLC並聯電路

圖 2. RLC 並聯電路

V - 電源電壓 I - 電路電流 R - 電阻 L - 電感 C - 電容

RLC並聯電路的特性可以利用電路的對偶性，將RLC並聯電路視為RLC串聯電路的對偶阻抗來處理，就可以用類似RLC串聯電路的分析方式來分析RLC並聯電路。

RLC並聯電路的衰减量$\alpha \,$可以用下式求得：

$\alpha = {1 \over 2RC }$

而其阻尼系数為：

$\zeta = {1 \over 2R}\sqrt{L\over C}$

若不考慮$1/2$的係數，RLC並聯電路的阻尼系数恰好是RLC串聯電路阻尼系数的倒數。

頻域

將並聯各元件的導納相加，即為此電路的導納：

${1\over Z}=$  ${1\over Z_L}+{1\over Z_C}+{1\over Z_R}=$  ${1\over{j\omega L}}+{j\omega C}+{1\over R}$

電容、電阻及電感並聯後，在共振頻率的阻抗為最大值，和電容、電阻及電感串聯的情形恰好相反，RLC並聯電路是抗共振電路（antiresonator）。

若用定電壓驅動時，電流的頻率響應在共振頻率$\omega_0={1\over\sqrt{LC}}$處有最小值。若用定電流驅動，電壓的頻率響應在共振頻率處有最大值，和RLC串聯電路中，電流的頻率響應圖形類似。

参见

• RC电路
• RL电路
• LC电路

參考資料

• Anant Agarwal, Jeffrey H. Lang, Foundations of analog and digital electronic circuits, Morgan Kaufmann, 2005 ISBN 1-55860-735-8.
• J. L. Humar, Dynamics of structures, Taylor & Francis, 2002 ISBN 90-5809-245-3.
• J. David Irwin, Basic engineering circuit analysis, Wiley, 2006 ISBN 7-302-13021-3.
• Kenneth L. Kaiser, Electromagnetic compatibility handbook, CRC Press, 2004 ISBN 0-8493-2087-9.
• James William Nilsson, Susan A. Riedel, Electric circuits, Prentice Hall, 2008 ISBN 0-13-198925-1.

外部連結

• 串聯RLC交流電路Java模擬