Riccati方程

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Riccati方程是形式如y' = q_0(x) + q_1(x) y + q_2(x) y^2常微分方程

解法[编辑]

先以v = y q_2代入:

v' = v^2 + P(x) v + Q(x)

其中 P = q_1 + (q_2 ' / q_2) ;\quad  Q = q_0q_2

再以 v = - u' / u 代入:

u'' - Pu' + Qu = 0

因为

v'=-(u'/u)'=-(u''/u) +(u'/u)^2=-(u''/u)+v^2\!

u''/u= v^2 -v'=-Q -Pv=-Q +Pu'/u\!

因此

u'' -Pu' +Qu=0.\!

最终 y=-u'/(q_2u).

Schwarzian方程上的應用[编辑]

S(w) := (w'' / w')' - (w'' / w')^2 / 2 = f

顯然可設y = w'' / w'

y' - y^2 / 2 = f

再代入 -2u'/u = y ,得線性微分方程:

u'' - (1/2) fu = 0

因為 w'' / w' = -2u' / u ,積分得w' = C/u^2。另一方面,若線性微分方程有其他線性獨立解U,則有:

w' = (U' u - U u' )/u^2
w = U/u

已知某一特定解[编辑]

已知 y = y_1 是一特定解,可設通解y = y_1 + 1/z,代入整理得一階線性常微分方程

z' + (q_1 + 2 q_2 y_1) z = - q_2

参见[编辑]