Riccati方程

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Riccati方程是形式如y' = q_0(x) + q_1(x) y + q_2(x) y^2常微分方程

解法[编辑]

先以v = y q_2代入:

v' = v^2 + P(x) v + Q(x)

其中 P = q_1 + \frac{q_2'}{q_2} ;\quad  Q = q_0q_2

再以 v = -\frac{u'}{u} 代入:

u'' - Pu' + Qu = 0

因为

v'=-\left(\frac{u'}{u}\right)'=-\frac{u''}{u} +\left(\frac{u'}{u}\right)^2=-\frac{u''}{u}+v^2\!

\frac{u''}{u}= v^2 -v'=-Q -Pv=-Q +\frac{u'}{u}P\!

因此

u'' -Pu' +Qu=0.\!

最终 y=-\frac{u'}{q_2u}.

Schwarzian方程上的應用[编辑]

S(w) \equiv \left(\frac{w''}{w'}\right)' - \frac{\left(\frac{w''}{w'}\right)^2}{2} = f

顯然可設y = \frac{w''}{w'}

y' - \frac{y^2}{2} = f

再代入 -\frac{2u'}{u} = y ,得線性微分方程:

u'' - \frac{1}{2} fu = 0

因為 \frac{w''}{w'} = -\frac{2u'}{u} ,積分得w' =\frac{C}{u^2}。另一方面,若線性微分方程有其他線性獨立解U,則有:

w' = \frac{U'u-Uu'}{u^2}
w = \frac{U}{u}

已知某一特定解[编辑]

已知 y = y_1 是一特定解,可設通解y = y_1 + \frac{1}{z},代入整理得一階線性常微分方程

z' + (q_1 + 2 q_2 y_1) z = - q_2

参见[编辑]