SL₂(ℝ)

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
群论
Rubik's cube.svg

数学中,特殊线性群SL₂(ℝ) 是行列式为 1 的 2×2矩阵组成的群:

\mbox{SL}_2(\mathbb{R}) = \left\{ \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} : a,b,c,d\in\mathbb{R}\right.\,,且 ad-bc=1\Bigg\}\,

它是一个三维李群,在几何拓扑表示论物理中有重要应用.

与 SL₂(ℝ) 密切相关的是射影线性群PSL₂(ℝ)。这是将 SL₂(ℝ) 中每个元素与它的负元素等同得到的

\mbox{PSL}_2(\mathbb{R}) = \mbox{SL}_2(\mathbb{R})/\{-1,+1 \}.\,

一些作者将这个群记做 SL(2,ℝ).这是一个单李群,包含模群PSL₂(ℤ)

描述[编辑]

SL2() 是 2 上所有保持定向面积线性变换群。它同构辛群 Sp2() 以及广义特殊酉群 SU(1,1)。它也同构于单位长共四元数群。

商 PSL2() 有多个有趣的描述:

线性分式变换[编辑]

PSL2() 的元素做为线性分式变换作用在实射影直线 \mathbb{R}\cup\{\infty\} 上:

x \mapsto \frac{ax+b}{cx+d}.

这类似于 PSL2() 通过莫比乌斯变换黎曼球面上的作用。这是 PSL2() 在双曲平面上的作用限制到无穷远边界。

莫比乌斯变换[编辑]

PSL2() 中的元素通过莫比乌斯变换作用在复平面上:

z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}\;\;\;(\, 这里 a,b,c,d\in\mathbb{R}\mbox{)}.\,

这正好是保持上半平面的莫比乌斯变换集合。从而 PSL2() 是上半平面的共形自同构群。由黎曼映射定理,它也是单位圆盘的共形自同构群。

这些莫比乌斯变换是双曲空间上半平面模型的等距,而圆盘相应的莫比乌斯变换是庞加莱圆盘模型的双曲等距。

伴随表示[编辑]

群 SL2() 通过共轭作用在它的李代数 SL2() 上,导致 PSL2() 的一个忠实 3 维线性表示。这也可以描述为 PSL₂(ℝ) 作用在 ℝ² 上的二次型上。结果是如下表示

\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}
a^2 & 2ac & c^2 \\
ab & ad+bc & cd \\
b^2 & 2bd & d^2
\end{bmatrix}.

sl2() 上的基灵型符号 (2,1),诱导了 PSL2() 与洛伦兹群 SO+(2,1) 之间一个同构。PSL2() 在闵可夫斯基空间上的作用限制成 PSL2() 在双曲空间的双曲面模型上的等距。

元素的分类[编辑]

SL2() 中一个元素 A本征值满足特征多项式

 \lambda^2 \,-\, \mathrm{tr}(A)\,\lambda \,+\, 1 \,=\, 0,\,

从而

 \lambda = \frac{\mathrm{tr}(A) \pm \sqrt{\mathrm{tr}(A)^2 - 4}}{2}. \,

这导致了如下元素分类:

  • 如果 | tr(A) | < 2,则 A 称为椭圆型
  • 如果 | tr(A) | = 2,则 A 称为抛物型
  • 如果 | tr(A) | > 2,则 A 称为双曲型

椭圆型元素[编辑]

椭圆型元素的本征值都是复数,是单位圆周上的共轭值。这样的元素的作用是欧几里得空间中的旋转,相应的 PSL2() 元素之作用是双曲平面与闵可夫斯基空间的旋转。

模群的椭圆型元素的本征值一定为 {ω, 1/ω} 形式,其中 ω 是一个本原3次、4次、或6次单位根。他们是模群中所有有限元素,他们作用在环面上是周期性微分同胚。

抛物型元素[编辑]

抛物型元素只有一个本征值,1 或者 -1。这样的元素作用在欧几里得平面上是错切映射,相应 PSL2() 中元素作用在双曲平面上是极限旋转limit rotation),在闵可夫斯基空间上的作用是零旋转

模群的抛物型元素作用在环面上是德恩扭转Dehn twist)。

双曲型元素[编辑]

双曲型元素的本征值都是实数,互为倒数。这样一个元素作用在欧几里得空间上是挤压映射squeeze mapping),相应的 PSL2() 元素作用在双曲平面是平移,在闵可夫斯基空间上的作用是洛伦兹递升

模群的双曲型元素作用在环面上是阿诺索夫微分同胚Anosov diffeomorphism)。

拓扑和万有覆盖[编辑]

做为一个拓扑空间,PSL2(R) 可以描述为双曲平面的单位切丛,这是一个圆丛,有由双曲平面上辛结构诱导的自然切触结构。SL2(R) 是 PSL2(R) 的二重覆盖,可以认为是双曲平面上的旋量丛

SL2(R) 的基本群是无限循环群 。其万有覆盖群记做 \overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})},是一个有限维李群但不是矩阵群。即 \overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})} 没有忠实有限维表示

做为一个拓扑空间,\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})} 是双曲平面上一个线丛。若赋予一个左不变度量3-流形 \overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})} 成为瑟斯顿八几何之一。例如,\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})} 是任何双曲曲面的单位切丛的万有覆盖。任何以 \overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})} 为模型的流形是可定向的,也是一个二维双曲轨形上的圆丛(一个塞弗特纤维空间Seifert fiber space))。

代数结构[编辑]

SL2() 的中心是两个元素的群 {-1,1}, PSL2() 是单群

PSL2() 的离散子群称为富克斯群Fuchsian group)。他们是欧几里得壁纸群wallpaper group)和饰带群Frieze group)的双曲类比。最有名的是模群 PSL2(),它作用在双曲平面由理想三角形形成的嵌图上。

圆群SO(2)是 SL2() 的一个极大紧子群,圆 SO(2)/{-1,+1} 是 PSL2() 的一个极大紧子群。

PSL2() 的舒尔乘子Schur multiplier)是 ,万有中心扩张与万有覆盖群相同。

表示理论[编辑]

SL2() 是一个实非紧单李群,也是复李群 SL2() 的分裂实形式。SL2() 的李代数记做 sl2(),是所有迹为零的 2×2 实矩阵。 它是 VIII 型比安基代数

SL2() 的有限维表示理论等价于SU(2)的表示理论,这是 SL2() 的紧实形式。特别地 SL2() 没有非平凡有限维酉表示

SL2() 的无限维表示理论相当有意思。这个群有多类酉表示,这被盖尔范德奈马克 (1946)、巴格曼 (1947)、Harish-Chandra (1952) 详细地解决了。

另见[编辑]

参考文献[编辑]

  • V. Bargmann, Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group,The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 48, No. 3 (Jul., 1947), pp. 568-640
  • Gelfand, I.; Neumark, M. Unitary representations of the Lorentz group. Acad. Sci. USSR. J. Phys. 10, (1946), pp. 93--94
  • Harish-Chandra, Plancherel formula for the 2×2 real unimodular group. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 38 (1952), pp. 337--342
  • Serge Lang, SL2(R). Graduate Texts in Mathematics, 105. Springer-Verlag, New York, 1985. ISBN 0-387-96198-4
  • William Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5