贝尔曼-福特算法

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贝尔曼-福特算法
分類 单源最短路径问题(针对带权有向图)
數據結構
最差時間複雜度 O (|V| |E|)
最差空間複雜度 O (|V|)

贝尔曼-福特算法(Bellman-Ford)是由理查德·貝尔曼(Richard Bellman) 和 萊斯特·福特英语Lester Ford 创立的,求解单源最短路径问题的一种算法。有时候这种算法也被称为 Moore-Bellman-Ford 算法,因为 Edward F. Moore 也为这个算法的发展做出了贡献。它的原理是对图进行V-1次松弛操作,得到所有可能的最短路径。其优于迪科斯彻算法的方面是边的权值可以为负数、实现简单,缺点是时间复杂度过高,高达O(VE)。但算法可以进行若干种优化,提高了效率。

算法[编辑]

在这个图中,假设A是起点,并且边以最坏的顺序处理,从右到左,需要|V|−1步或4次计算路径长度。相反地,若边以最优顺序处理,从左到右,算法只需要在一次遍历内完成。

贝尔曼-福特算法与迪科斯彻算法类似,都以松弛操作为基础,即估计的最短路径值渐渐地被更加准确的值替代,直至得到最优解。在两个算法中,计算时每个边之间的估计距离值都比真实值大,并且被新找到路径的最小长度替代。 然而,迪科斯彻算法以贪心法选取未被处理的具有最小权值的节点,然后对其的出边进行松弛操作;而贝尔曼-福特算法简单地对所有边进行松弛操作,共|V | − 1次,其中 |V |是图的边的数量。在重复地计算中,已计算得到正确的距离的边的数量不断增加,直到所有边都计算得到了正确的路径。这样的策略使得贝尔曼-福特算法比迪科斯彻算法适用于更多种类的输入。

贝尔曼-福特算法的最多运行O(|V|·|E|)次,|V|和|E|分别是节点和边的数量)。

伪代码表示[编辑]

procedure BellmanFord(list vertices, list edges, vertex source)
   // 该实现读入边和节点的列表,并向两个数组(distance和predecessor)中写入最短路径信息

   // 步骤1:初始化图
   for each vertex v in vertices:
       if v is source then distance[v] := 0
       else distance[v] := infinity
       predecessor[v] := null

   // 步骤2:重复对每一条边进行松弛操作
   for i from 1 to size(vertices)-1:
       for each edge (u, v) with weight w in edges:
           if distance[u] + w < distance[v]:
               distance[v] := distance[u] + w
               predecessor[v] := u

   // 步骤3:检查负权环
   for each edge (u, v) with weight w in edges:
       if distance[u] + w < distance[v]:
           error "图包含了负权环"

原理[编辑]

松弛[编辑]

每次松弛操作实际上是对相邻节点的访问,第n次松弛操作保证了所有深度为n的路径最短。由于图的最短路径最长不会经过超过V-1条边,所以可知贝尔曼-福特算法所得为最短路径。

负边权操作[编辑]

迪科斯彻算法不同的是,迪科斯彻算法的基本操作“拓展”是在深度上寻路,而“松弛”操作则是在广度上寻路,这就确定了贝尔曼-福特算法可以对负边进行操作而不会影响结果。

负权环判定[编辑]

因为负权环可以无限制的降低总花费,所以如果发现第n次操作仍可降低花销,就一定存在负权环。

优化[编辑]

循环的提前跳出[编辑]

在实际操作中,贝尔曼-福特算法经常会在未达到V-1次前就出解,V-1其实是最大值。于是可以在循环中设置判定,在某次循环不再进行松弛时,直接退出循环,进行负权环判定。

队列优化[编辑]

求单源最短路的SPFA算法的全称是:Shortest Path Faster Algorithm。 SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。[1]松弛操作必定只会发生在最短路径前导节点松弛成功过的节点上,用一个队列记录松弛过的节点,可以避免了冗余计算。复杂度可以降低到O(kE),k是个比较小的系数(并且在绝大多数的图中,k<=2,然而在一些精心构造的图中可能会上升到很高)

Begin
  initialize-single-source(G,s);
  initialize-queue(Q);
  enqueue(Q,s);
  while not empty(Q) do 
    begin
      u:=dequeue(Q);
      for each v∈adj[u] do 
        begin
          tmp:=d[v];
          relax(u,v);
          if (tmp<>d[v]) and (not v in Q) then
            enqueue(Q,v);
        end;
    end;
End;

样例[编辑]

例:V={v1,v2,v3,v4} E={(v1,v2),(v1,v3),(v2,v4),(v4,v3)} weight(v1,v2)=-1 weight(v1,v3)=3 weight(v2,v4)=3 weight(v4,v3)=-1

运行如表: D:Dist[v],P:Pred[v]

v1 v2 v3 v4
D/P D/P D/P D/P
初始化 0/null ∞/null ∞/null ∞/null
循环第一次 0/null -1/v1 3/v1 ∞/null
循环第二次 0/null -1/v1 3/v1 2/v2
循环第三次 0/null -1/v1 1/v4 2/v2

参考文献[编辑]