T1空间

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拓扑学和相关的数学分支中,T1 空间R0 空间是特定种类的拓扑空间。T1 和 R0 性质是分离公理的个例。

定义[编辑]

X拓扑空间并设 xyX 中的点。我们称 xy 可以被“分离”如果它们每个都位于不包含另一个点的一个开集中。

  • XT1 空间,如果任何 X 中两个独特的点可以被分离。
  • XR0 空间,如果任何 X 中两个拓扑可区分的点可以被分离。

T1 空间也叫做可及空间(accessible space)或Fréchet 空间,而 R0 空间也叫做对称空间。(术语“Fréchet空间”在泛函分析中有完全不同的意义。为此偏好术语“T1 空间”。还有作为某种类型的序列空间Fréchet-Urysohn空间的概念。术语“对称空间”也有其他意义。)

性质[编辑]

X 是拓扑空间。则下列条件等价:

  • X 是 T1 空间。
  • XT0 空间和 R0 空间。
  • 点在 X 中是闭合的;就是说给定任何 X 中点 x,单元素集合 {x} 是闭集
  • 所有 X 的子集是包含它的所有开集的交集。
  • 所有有限集合是闭集
  • X余有限集合是开集。
  • x固定超滤子只收敛到 x
  • 对于所有 X 中的点 x 和所有 X 的子集 SxS极限点,当且仅当所有 x 的开邻域包含无限多个 S 的点。

X 是拓扑空间。则下列条件等价:

在任何拓扑空间中,作为任何两个点之间的性质,有下列蕴涵

“分离”的 ⇒ “拓扑可区分”的 ⇒ “独特”的

如果第一个箭头可反转则空间是 R0。如果第二个箭头可以反转则空间是 T0。如果复合箭头可以被反转则空间是 T1。明显的,一个空间是 T1 当且仅当它是 R0 和 T0 二者。

注意有限 T1 空间必然是离散的(因为所有集合都是闭集)。

例子[编辑]

  • 无限集合上的余有限拓扑是 T1 而非豪斯多夫(T2) 的一个简单例子。这是因为没有余有限拓扑的两个开集是不相交的。特别是,设 X整数集合,并定义开集 OA 是包含除了 A 的所有 X有限子集的那些 X 的子集。则给定不同的整数 xy:
  • 开集 O{x} 包含 y 但不包含 x,而开集 O{y} 包含 x 但不包含 y
  • 等价的,所有单元素集合 {x} 是开集 O{x} 的补集,所以它是闭集;
所以通过上述每个定义结果的空间是 T1。这个空间不是 T2,因为任何两个开集OAOB交集OAB,它永远非空。可供选择,偶整数集合是紧致的但不是闭集,它不可能在豪斯多夫空间内。
  • 上述例子可以稍微修改来建立双点余有限拓扑,它是 R0 不是 T1 也不是 R1 的空间的例子。设 X 是整数的集合,并使用上例中 OA 定义,定义对任何整数 x 开集 Gx子基Gx = O{x, x+1} 如果 x偶数Gx = O{x-1, x} 如果 x 是奇数。则这个拓扑的可给出自子基集合的有限交集:给定有限集合 AX 的开集是
U_A := \bigcap_{x \in A} G_x.
结果的空间不是 T0(因此不是 T1),因为点 xx + 1(对于偶数 x)是拓扑不可区分的;但是在其他方面它本质上等价于上个例子。
  • 代数簇上的Zariski拓扑是 T1 的。要看出来,请注意带有局部坐标 (c1,...,cn) 的点是多项式 x1-c1, ..., xn-cn 的零集合。因此点是闭合的。但是这个例子作为非豪斯多夫(T2) 的空间而知名。Zariski 拓扑本质上是余有限拓扑的例子。

推广到其他种类的空间[编辑]

术语“T1”、“R0”和它们的同义词还可以应用于拓扑空间的变体如一致空间柯西空间收敛空间。统一这些例子中概念的特征是固定超滤子(或恒定)的极限是唯一的(对于 T1 空间)或不別拓扑不可区分性之異時是唯一的(对于 R0 空间)。

这显现出一致空间和更一般的柯西空间总是 R0 的,所以在这些情况下 T1 条件简约为 T0 条件。但是 R0 自身在其他种类的收敛空间上也是有价值的,比如预拓扑空间

參考文獻[编辑]

  • Willard, Stephen. General Topology. New York: Dover. 1998: 86–90. ISBN 0-486-43479-6. .
  • Folland, Gerald. Real analysis: modern techniques and their applications 2nd. John Wiley & Sons, Inc. 1999: 116. ISBN 0-471-31716-0. .