Tor函子

在交換代數中，Tor 函子是張量積的導函子。此函子起初是為了表述代數拓撲中的 Künneth 定理與普遍係數定理而定義。

定義

設 $R$ 為環。令 $R-\mathbf{Mod}$ 為左 $R$-模範疇、 $\mathbf{Mod}-R$ 為右 $R$-模範疇（若 $R$ 為交換環，則兩者等價）。固定一對象 $B \in R-\mathbf{Mod}$，考慮函子

$T_B(-) := - \otimes_R B$

這是從 $\mathbf{Mod}-R$ 至阿貝爾群範疇 $\mathbf{Ab}$ 的右正合函子（若 $R$ 為交換環，則它是映至 $R-\mathbf{Mod}$ 的右正合函子），因此能考慮其左導函子 $L_\bullet T_B$，記為 $\mathrm{Tor}_\bullet^R(-,B)$。

換言之，對任一左 $R$-模 $A$ 取射影分解

$\cdots\rightarrow P_3 \rightarrow P_2 \rightarrow P_1 \rightarrow A\rightarrow 0$

去掉尾項 $A$，並對 $B$ 取張量積，得到鏈複形

$\cdots \rightarrow P_3\otimes B \rightarrow P_2\otimes B \rightarrow P_1\otimes B \rightarrow 0$

並取其同調群，則得到 $\mathrm{Tor}_\bullet^R(-,B)$

此外，Tor 函子也能以 $A \otimes_R -$ 的左導函子定義，兩種定義給出自然同構的函子。

性質

• Tor 函子與直和交換：

$\mathrm{Tor}_n^R(\bigoplus_i A_i, \bigoplus_j B_j) \simeq \bigoplus_i \bigoplus_j \mathrm{Tor}_n^R(A_i,B_j)$

• 對任何 $n \geq 1$，$\mathrm{Tor}_n^R$ 是從 $(\mathbf{Mod}-R) \times (R-\mathbf{Mod})$ 到 $\mathbf{Ab}$ 的加法函子。若 $R$ 是交換環，則它是從 $(R-\mathbf{Mod}) \times (R-\mathbf{Mod})$ 到 $R-\mathbf{Mod}$ 的加法函子。
• 依據導函子性質，每個短正合序列 $0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0$ 導出長正合序列：

$\cdots\rightarrow\mathrm{Tor}_{n+1}^R (M,B) \rightarrow \mathrm{Tor}_n^R (K,B) \rightarrow \mathrm{Tor}_n^R (L,B) \rightarrow\mathrm{Tor}_n^R (M,B)\rightarrow \mathrm{Tor}_{n-1}^R(K,B) \rightarrow \cdots$

對第二個變數亦同。

• 若 $R$ 為交換環，$r \in R$ 非零因子，則

$\mathrm{Tor}_1^R(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}$

這是 Tor 函子的詞源。

• 由於阿貝爾群皆有長度不超過二的自由分解（因為自由阿貝爾群的子群皆為自由的），此時對所有 $n \geq 2$，有 $\mathrm{Tor}_n^\Z(-,-) = 0$。

譜序列

設 $A, B$ 為交換環，$M$ 為 $B$-模，並固定一個環同態 $A \to B$。我們有雙函子的自然同構：

$(- \otimes_A B) \otimes_B M = - \otimes_A M$

由此導出格羅滕迪克譜序列：對任何 $A$-模 $N$，有譜序列

$E^2_{pq} = \mathrm{Tor}_p^B(\mathrm{Tor}_q^A (N,B), M) \Rightarrow \mathrm{Tor}_{p+q}^A(N, M)$

與平坦模的關係

一個右 $R$-模是平坦模的充要條件是 $\mathrm{Tor}_1^R(M,-)=0$。此時可推出 $\forall n \geq 1, \; \mathrm{Tor}_n^R(M,-)=0$。左 $R$-模的情況準此可知。事實上，計算 Tor 函子時可以用平坦分解代替射影分解；凡射影分解必為平坦分解，反之則不然；平坦分解在技術上較富彈性。

文獻

• Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1