Tor函子

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交換代數中,Tor 函子張量積導函子。此函子起初是為了表述代數拓撲中的 Künneth 定理與普遍係數定理而定義。

定義[编辑]

R。令 R-\mathbf{Mod} 為左 R-模範疇、 \mathbf{Mod}-R 為右 R-模範疇(若 R交換環,則兩者等價)。固定一對象 B \in R-\mathbf{Mod},考慮函子

T_B(-) := - \otimes_R B

這是從 \mathbf{Mod}-R阿貝爾群範疇 \mathbf{Ab} 的右正合函子(若 R 為交換環,則它是映至 R-\mathbf{Mod} 的右正合函子),因此能考慮其左導函子 L_\bullet T_B,記為 \mathrm{Tor}_\bullet^R(-,B)

換言之,對任一左 R-模 A射影分解

\cdots\rightarrow P_3 \rightarrow P_2 \rightarrow P_1 \rightarrow A\rightarrow 0

去掉尾項 A,並對 B 取張量積,得到鏈複形

\cdots \rightarrow P_3\otimes B \rightarrow P_2\otimes B \rightarrow P_1\otimes B \rightarrow 0

並取其同調群,則得到 \mathrm{Tor}_\bullet^R(-,B)

此外,Tor 函子也能以 A \otimes_R - 的左導函子定義,兩種定義給出自然同構的函子。

性質[编辑]

  • Tor 函子與直和交換:
\mathrm{Tor}_n^R(\bigoplus_i A_i, \bigoplus_j B_j) \simeq \bigoplus_i \bigoplus_j \mathrm{Tor}_n^R(A_i,B_j)
\cdots\rightarrow\mathrm{Tor}_{n+1}^R (M,B) \rightarrow \mathrm{Tor}_n^R (K,B) \rightarrow \mathrm{Tor}_n^R (L,B) \rightarrow\mathrm{Tor}_n^R (M,B)\rightarrow \mathrm{Tor}_{n-1}^R(K,B) \rightarrow \cdots
對第二個變數亦同。
  • R 為交換環,r \in R 非零因子,則
\mathrm{Tor}_1^R(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}
這是 Tor 函子的詞源。
  • 由於阿貝爾群皆有長度不超過二的自由分解(因為自由阿貝爾群的子群皆為自由的),此時對所有 n \geq 2,有 \mathrm{Tor}_n^\Z(-,-) = 0

譜序列[编辑]

A, B 為交換環,MB-模,並固定一個環同態 A \to B。我們有雙函子的自然同構:

(- \otimes_A B) \otimes_B M = - \otimes_A M

由此導出格羅滕迪克譜序列:對任何 A-模 N,有譜序列

E^2_{pq} = \mathrm{Tor}_p^B(\mathrm{Tor}_q^A (N,B), M) \Rightarrow \mathrm{Tor}_{p+q}^A(N, M)

與平坦模的關係[编辑]

一個右 R-模是平坦模的充要條件是 \mathrm{Tor}_1^R(M,-)=0。此時可推出 \forall n \geq 1, \; \mathrm{Tor}_n^R(M,-)=0。左 R-模的情況準此可知。事實上,計算 Tor 函子時可以用平坦分解代替射影分解;凡射影分解必為平坦分解,反之則不然;平坦分解在技術上較富彈性。

文獻[编辑]

  • Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1