Verma模

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Verma模(Verma module)是李代數表示理論中的基本研究對象,其名取自Daya-Nand Verma。Verma模之間的態射相應於旗流形上的不變微分算子

可用Verma模來證明以下命題:最高權\lambda最高權表示的維數有限,若且僅若\lambda支配整權en:dominant integral weight)。

Verma模的定義[编辑]

設:

M_\lambda = \mathcal{U}(\mathfrak{g}) \otimes_{\mathcal{U}(\mathfrak{b})} F_\lambda

此自然地是一左\mathfrak{g}-模。從Poincaré-Birkhoff-Witt定理可知:M_\lambda,作為一向量空間,同構於

\mathcal{U}(\mathfrak{g}_-) \otimes_F F_\lambda

其中\mathfrak{g}_-\mathfrak{g}之負根生成之子李代數。

基本性質[编辑]

作為\mathfrak{g}-模,Verma模是一最高權表示,即整個模由一最高權向量生成。此最高權向量是1\otimes 1的像(其中前1\mathcal{U}(\mathfrak{g})之單位,後1為域F之單位元);其權為\lambda

Verma模是weight modules,即M_\lambda是其權子空間直和。每一權子空間M_\mu是有限維的,其維度是M_\mu\lambda-\mu寫成正根之和之方法之數(參見Kostant partition function)。

Verma模有一重要性質:若V為任一最高權模,其最高權為\lambda,則存在一\mathfrak{g} 滿射M_\lambda\to V。換言之,任何最高權模都是M_\lambda的商模。

M_\lambda內存在唯一極大子模,而M_\lambda與此子模之商是不可約的。

Verma模M_\lambda本身不可約 若且僅若 當其最高權\lambda分解成基本權en:fundamental weight)之和時,每一系數都不是\{0,1,2,\ldots\}

稱Verma模M_\lambdaregular,若其最高權λ位於一支配權\tilde\lambda之仿射Weyl軌迹上。換言之,存在Weyl羣的元素w,使

\lambda=w\cdot\tilde\lambda

其中\cdot是Weyl羣的仿射作用

稱Verma模M_\lambdasingular,若λ的仿射軌迹上無支配權。此時,存在權\tilde\lambda使\tilde\lambda+\delta落於基本Weyl室之牆上;(其 中δ為各基本權之和)。

Verma模之間的態射[编辑]

\lambda, \mu為兩。若存在態射

M_\mu\rightarrow M_\lambda

\mathfrak{g}Weyl羣W仿射作用W必然能把\mu帶到\lambda。此為Harish-Chandra無限小中心特徵標定理之一推論。

每一Verma模 態射都是單射。態射空間之維度

dim(Hom(M_\mu, M_\lambda))\leq 1

其中\mu, \lambda為任何兩權。因此,存在一非零態射M_\mu\rightarrow M_\lambda若且僅若M_\mu 同構M_\lambda的一(唯一)子模。

Verma模態射的完整分類來自I.N.伯恩斯坦、I.M.蓋爾芳特 與S.I.蓋爾芳特 的工作[1]與N. Verma的工作[2]。簡言之,

存在非零態射

M_\mu\rightarrow M_\lambda若且僅若 存在一串

\mu=\nu_0\leq\nu_1\leq\ldots\leq\nu_k=\lambda
使得存在正根\gamma_i使\nu_{i-1}+\delta=s_{\gamma_i}(\nu_i+\delta)(其中s_{\gamma_i}根反映en:root reflection),而\delta是所有基本權之和)且對每一1\leq i\leq k(\nu_i+\delta)(H_{\gamma_i})為一自然數(其中H_{\gamma_i}是根\gamma_i對偶根en:coroot))。

若Verma模M_\muM_\lambda俱為regular,則僅存支配權\tilde\lambdaWeyl羣w, w′使

P\mu=w'\cdot\tilde\lambda

而且

\lambda=w\cdot\tilde\lambda,

其中\cdot為Weyl羣的仿射作用。設此等權是整權en:integral weight)。存在非零態射

M_\mu\to M_\lambda

若且僅若,在Weyl羣WBruhat次序中,

w \leq  w'

Jordan-Holder序列[编辑]

0\subset A\subset B\subset M_\lambda

為一\mathfrak{g}-模序列,其中B/A為不可約表示,其最高權為μ。則存在非零態射M_\mu\to M_\lambda

推論: 設V_\mu, V_\lambda為二最高權表示。若

V_\mu\subset V_\lambda

則存在非零態射M_\mu\to M_\lambda

伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特 分解[编辑]

V_\lambda李代數\mathfrak{g}的一有限維不可約表示,其最高權為λ。我们已知:存在非零態射

M_{w'\cdot\lambda}\to M_{w\cdot\lambda}

若且僅若,在其Weyl羣Bruhat次序中,

w\leq w'

以下定理描述如何分解V_\lambda成Verma模的正合序列。 (此定理出現於 伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特1975年的論文[3]):

存在由\mathfrak{g}-態射組成的正合序列

0\to \oplus_{w\in W,\,\, l(w)=n} M_{w\cdot \lambda}\to \ldots \to \oplus_{w\in W,\,\, l(w)=2} M_{w\cdot \lambda}\to \oplus_{w\in W,\,\, l(w)=1} M_{w\cdot \lambda}\to M_\lambda\to V_\lambda\to 0

其中n為Weyl羣最長元之長度。

一般研究員簡稱其為「BGG分解」。 廣義Verma模亦有類似分解。

近來有人研究此等分解之某些特例,以助理解拋物幾何en:parabolic geometries嘉當幾何之特例)上之不變微分算子。嘉當幾何的定義依賴於一李羣G與其拋物子羣P。參閲[4][5][6]

參攷[编辑]

  • Knapp, A. W. Lie Groups Beyond an troduction. Second Edition. (2002), page 285.
  • Dixmier, J., Enveloping Algebras, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1977
  • Humphreys J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, 1980
  • Roggenkamp K., Stefanescu M., Algebra - Representation Theory, Springer, 2002

註解[编辑]

  1. ^ Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Structure of Representations that are generated by vectors of highest weight, Functional. Anal. Appl. 5 (1971)
  2. ^ Verma N., Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras}, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968)
  3. ^ Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Differential Operators on the Base Affine Space and a Study of g-Modules, Lie Groups and Their Representations, I. M. Gelfand, Ed., Adam Hilger, London, 1975.}
  4. ^ Eastwood M., Variations on the de Rham complex, Notices Amer. Math. Soc, 1999 - ams.org
  5. ^ Calderbank D.M., Diemer T., Differential invariants and curved Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001158, 2000 - arxiv.org
  6. ^ Cap A., Slovak J., Soucek V., Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001164, 2000 - arxiv.org

參見[编辑]

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