WKB近似

维基百科,自由的百科全书
(重定向自WKB 近似
跳转至: 导航搜索

量子力學裏,WKB近似是一種半經典計算方法,可以用來解析薛丁格方程式喬治·伽莫夫使用這方法,首先正確地解釋了阿爾法衰變。WKB近似先將量子系統的波函數,重新打造為一個指數函數。然後,半經典展開。再假設波幅相位的變化很慢。通過一番運算,就會得到波函數的近似解。

簡略歷史[编辑]

WKB近似以三位物理學家Gregor WentzelHendrik Anthony KramersLeon Brillouin命名。於1926 年,他們成功地將這方法發展和應用於量子力學。不過早在1923年,數學家 Harold Jeffreys 就已經發展出二階線性微分方程式的一般的近似法。薛丁格方程式也是一個二階微分方程式。可是,薛丁格方程式的出現稍微晚了兩年。三位物理學家各自獨立地在做WKB近似的研究時,似乎並不知道這個更早的研究。所以物理界提到這近似方法時,常常會忽略了Harold Jeffreys所做的貢獻。這方法在荷蘭稱為 KWB近似,在法國稱為 BWK近似,只有在英國稱為 JWKB近似[1]

數學概念[编辑]

一般而言,WKB近似專門計算一種特殊微分方程式的近似解。這種特殊微分方程式的最高階導數項目的係數是一個微小參數 \epsilon\,\! 。給予一個微分方程式,形式為

 \epsilon \frac{d^ny}{dx^n} + a(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n - 1}} + \cdots + k(x)\frac{dy}{dx} + m(x)y= 0\,\!

假設解答的形式可以展開為一個漸近級數asymptotic series):

 y(x) \sim \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right]\,\!

將這據理思考過的猜想代入微分方程式。然後约去相同指數函數因子。又取 \delta \rightarrow 0\,\! 的極限。這樣,就可以從 S_0(x)\,\! 開始,一個一個的解析這漸近級數的每一個項目 S_n(x)\,\!

通常y(x)\,\! 的漸近級數會發散(不收斂)。當 n\,\! 大於某值後,一般項目 \delta ^n S_n(x)\,\! 會開始增加。因此WKB近似法造成的最小誤差,約是最後包括項目的數量級。

數學例子[编辑]

設想一個二階齊次線性微分方程式

 \epsilon^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = Q(x) y \,\!

其中,Q(x) \neq 0\,\!

猜想解答的形式為

y(x) = \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right]\,\!

將猜想代入微分方程式,可以得到

\epsilon^2\left[\frac{1}{\delta^2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n'\right)^2 + \frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n''\right] = Q(x)\,\!

\delta \rightarrow 0\,\! 的極限,最重要的項目是

\frac{\epsilon^2}{\delta^2}S_0'^2 \sim Q(x)\,\!

我們可以察覺,\delta\,\! 必須與 \epsilon\,\! 成比例。設定 \delta=\epsilon\,\! ,則 \epsilon\,\! 的零次冪項目給出

\epsilon^0: \qquad S_0'^2 = Q(x)\,\!

我們立刻認出這是相函方程式eikonal equation)。解答為

S_0(x) = \pm \int_{x_0}^{x}\sqrt{Q(t)}\,dt\,\!

檢查 \epsilon\,\! 的一次冪項目給出

\epsilon^1:\qquad 2S_0'S_1' + S_0'' = 0\,\!

這是一個一維傳輸方程式transport equation)。解答為

S_1(x) = - \frac{1}{4}\ln\left(Q(x)\right) + k_1\,\!

其中,k_1\,\! 是任意常數。

我們現在有一對近似解(因為 S_0\,\! 可以是正值或負值)。一般的一階 WKB近似解是這一對近似解的線性組合:

y(x) \approx c_1Q^{ - \frac{1}{4}}(x)\exp\left[\frac{1}{\epsilon}\int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)}dt\right] + c_2Q^{ - \frac{1}{4}}(x)\exp\left[ - \frac{1}{\epsilon}\int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)}dt\right]\,\!

檢查 \epsilon\,\! 的更高冪項目 (n>2\,\!) 可以給出:

 2S_0'S_n' + S''_{n - 1} + \sum_{j=1}^{n - 1}S'_jS'_{n - j} = 0\,\!

薛丁格方程式的近似解[编辑]

解析一個量子系統的薛丁格方程式,WKB近似涉及以下步驟:

  1. 波函數重新打造為一個指數函數
  2. 將這指數函數代入薛丁格方程式
  3. 展開指數函數的參數為約化普朗克常數冪級數
  4. 匹配 約化普朗克常數 同次冪 的項目,會得到一組方程式,
  5. 解析這些方程式,就會得到波函數的近似。

一維不含時薛丁格方程式

 - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) + V(x) \psi(x) = E \psi(x)\,\!

其中,\hbar\,\!約化普朗克常數m\,\! 是質量,x\,\! 是坐標,V(x)\,\!位勢E\,\! 是能量,\psi\,\! 是波函數。

稍加編排,重寫為

\hbar^2\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) =2m \left( V(x) - E \right) \psi(x)\,\!(1)

假設波函數的形式為另外一個函數 \phi\,\! 的指數(函數 \phi\,\!作用量有很親密的關係):

\psi(x) = e^{\phi(x)/\hbar} \,\!

代入方程式 (1) ,

\hbar\phi''(x) +\left[\phi'(x)\right]^2=2m\left( V(x) - E \right)\,\!(2)

其中,\phi'\,\! 表示 \phi\,\! 隨著 x\,\! 的導數。

\phi'\,\! 可以分為實值部分與虛值部分。設定兩個函數 A(x)\,\!B(x)\,\!

\phi'(x) = A(x) + i B(x)\,\!

注意到波函數的波幅是 exp\left[\int^x A(x')dx'/\hbar\right]\,\! ,相位是 \int^x B(x')dx'/\hbar\,\! 。將 \phi'\,\! 的代表式代入方程式 (2) ,分別匹配實值部分、虛值部分,可以得到兩個方程式:

\hbar A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 =2m \left( V(x) - E \right)\,\!(3)
\hbar B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0\,\!(4)

半經典近似[编辑]

A(x)\,\!B(x)\,\! 展開為 \hbar\,\!冪級數

A(x) =\sum_{n=0}^\infty \hbar^n A_n(x)\,\!
B(x) =\sum_{n=0}^\infty \hbar^n B_n(x)\,\!

將兩個冪級數代入方程式 (3) 與 (4)。 \hbar\,\! 的零次冪項目給出:

A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right)\,\!
A_0(x) B_0(x) = 0\,\!

假若波幅變化地足夠慢於相位(A_0(x) \ll B_0(x)\,\!),那麼,我們可以設定

A_0(x) = 0\,\!
B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }\,\!

只有當 E\ge V(x) \,\! 的時候,這方程式才成立。經典運動只會允許這種狀況發生。

更精確一點, \hbar\,\! 的一次冪項目給出:

A_0'+2A_0 A_1 - 2B_0 B_1= - 2B_0 B_1=0\,\!
B_0'+2A_0 B_1+2B_0 A_1=B_0'+2B_0 A_1=0\,\!

所以,

B_1=0\,\!
A_1= - \frac{B_0'}{2B_0}=\frac{d}{dx}ln B_0^{ - 1/2}\,\!

波函數的波幅是 exp\left[\int^x A(x')dx'/\hbar\right]=\frac{1}{\sqrt{B_0}}\,\!

定義動量 p(x) = \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }\,\! ,則波函數的近似為

\psi(x) \approx  \cfrac{C_{\pm}} {\sqrt{p(x)}}  e^{\pm i \int_{x_0}^x p(x') \mathrm{d}x'/\hbar} \,\!(5)

其中,C_+\,\!C_{-}\,\! 是常數,x_0\,\! 是一個任意參考點的坐標。

換到另一方面,假若相位變化地足夠慢於波幅(B_0(x) \ll A_0(x)\,\!),那麼,我們可以設定

A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }\,\!
B_0(x) = 0\,\!

只有當 V(x)\ge E\,\! 的時候,這方程式才成立。經典運動不會允許這種狀況發生。只有在量子系統裏,才會發生這種狀況,稱為量子穿隧效應。類似地計算,可以求得波函數的近似為

\psi(x) \approx  \frac{C_{\pm}} {\sqrt{p(x)}}  e^{\pm\int_{x_0}^x p(x') \mathrm{d}x'/\hbar}\,\!(6)

其中,p(x) = \sqrt{ 2m \left(V(x) - E\right) }\,\!

連接公式[编辑]

顯而易見地,我們可以從分母觀察出來,在經典轉向點 E = V(x)\,\! ,這兩個近似方程式 (5) 和 (6) 會發散,無法表示出物理事實。我們必須正確地找到波函數在經典轉向點的近似解答。設定 x_1< x< x_2\,\! 是經典運動允許區域。在這區域內, E>V(x)\,\! ,波函數呈振動形式。其它區域 x<x_1\,\!x_2< x\,\! 是經典運動不允許區域,波函數呈指數遞減形式。假設在經典轉向點附近,位勢足夠的光滑,可以近似為線性函數。更詳細地說,在點 x_2\,\! 附近,將 \frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right)\,\! 展開為一個冪級數:

\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = U_1 (x - x_2) + U_2 (x - x_2)^2 + \cdots\,\!

其中,U_1,\,U_2,\,\cdots\,\! 是常數值係數。

取至一階,方程式 (1) 變為

\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) = U_1 (x - x_2) \psi(x)\,\!

這微分方程式稱為艾里方程式,解答是艾里函數

\psi(x) = C_{2A} \textrm{Ai}\left( \sqrt[3]{U_1} (x - x_2) \right) + C_{2B} \textrm{Bi}\left( \sqrt[3]{U_1} (x - x_2) \right)\,\!

匹配艾里函數和在 x< x_2\,\! 的波函數,在 x_2< x\,\! 的波函數,經過一番繁雜的計算,可以得到在 x_2\,\! 附近的連接公式 (connection formula) [1]

\psi(x) = 
\begin{cases} 
  \cfrac{2C_2}{\sqrt{p(x)}} \sin \left(\cfrac{1}{\hbar}\int_x^{x_2} p(x')dx'+\cfrac{\pi}{4}\right) & \mbox{if } x<x_2 \\
  \cfrac{C_2}{\sqrt{|p(x)|}} \exp\left( - \int_{x_2}^x |p(x')|dx'/{\hbar}\right) & \mbox{if } x_2<x 
\end{cases}\,\!

類似地,也可以得到在 x_1\,\! 附近的連接公式:

\psi(x) = 
\begin{cases} 
  \cfrac{C_1}{\sqrt{|p(x)|}} \exp\left( - \int_x^{x_1} |p(x')|dx'/{\hbar}\right) & \mbox{if } x<x_1 \\
  \cfrac{2C_1}{\sqrt{p(x)}} \sin \left(\cfrac{1}{\hbar}\int_{x_1}^{x} p(x')dx'+\cfrac{\pi}{4}\right) & \mbox{if } x_1<x 
\end{cases}\,\!

量子化守則[编辑]

在經典運動允許區域 x_1< x< x_2\,\! 內的兩個連接公式也必須匹配。設定角變量

\theta_1= - \frac{1}{\hbar}\int_{x_1}^{x} p(x')dx' - \frac{\pi}{4}\,\!
\theta_2=~\frac{1}{\hbar}\int_x^{x_2} p(x')dx' + \frac{\pi}{4}\,\!
\alpha=\int_{x_1}^{x_2} p(x)dx/\hbar\,\!

那麼,

\alpha=\theta_2 - \theta_1 - \pi/2\,\!
 - C_1 \sin \theta_1=C_2 \sin \theta_2=C_2\sin(\theta_1+\alpha+\pi/2)\,\!

立刻,我們可以認定 |C_1|=|C_2|\,\! 。匹配相位,假若 C_1=C_2\,\! ,那麼,

\alpha+\pi/2=(2m - 1)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!

所以,

\alpha=(2m - 3/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!

假若 C_1= - C_2\,\! ,那麼,

\alpha+\pi/2=2m\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!

所以,

\alpha=(2m - 1/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!

總結,量子系統必須滿足量子化守則:

\int_{x_1}^{x_2} p(x)dx = (n - 1/2)\pi\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!

範例[编辑]

思考一個量子諧振子系統,一個質量為 m\,\! 的粒子,移動於諧振位勢 V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2\,\! ;其中,\omega\,\! 是角頻率。求算其本徵能級 E_n\,\!

能量為 E\,\! 的粒子,其運動的經典轉向點 x_t\,\!

E=\frac{1}{2}m\omega^2 x_t^2\,\!

所以,

x_t=\pm \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2 }}\,\!

粒子的動量為

p(x)=\sqrt{2m(E - \frac{1}{2}m\omega^2 x^2)}\,\!

將這些變量代入量子化守則:

\int_{ - 2E/m\omega^2}^{2E/m\omega^2}\,\sqrt{2m(E - \frac{1}{2}m\omega^2 x^2)}\,dx= (n - 1/2)\pi\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!

經過一番運算,可以得到本徵能量

E_n= (n - 1/2)\pi\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!

很幸運地,近似解與精確解完全一樣!

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

現代文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7. 
  • Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). Addison-Wesley. 2003. ISBN 0-8053-8714-5. 
  • Sakurai, J. J. Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 1993. ISBN 0-201-53929-2. 
  • Bender, Carl; Orszag, Steven. Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. McGraw-Hill. 1978. ISBN 0-07-004452-X. 

歷史文獻[编辑]