不等

数学上，不等是表明两个对象的大小或者顺序的二元关系，与相等相对。不等关系主要有四种：

• $a<b$，即$a$小于$b$
• $a>b$，即$a$大于$b$

上述两个属于严格不等。

• $a\leq b$，即$a$小于等于$b$
• $a\geq b$，即$a$大于等于$b$
• $a\neq b$，即$a$不等于$b$

将两个表达式用不等符号连起来，就构成了不等式。

若不等关系对变量的所有元素都成立，则称其为“绝对的”或“无条件的”。若不等关系只对变量的部分取值成立，而对另一部分将改变方向或失效，则称为条件不等。

不等式两边同时加或减相同的数，或者两边同时乘以或除以同一个正数，不等关系不变。不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等关系改变方向。

符号$a\gg b$表示$a$“远大于”$b$。其含义是不确定的，可以是 100 倍的差异，也可能是10个数量级的差异。和方程相联系，它被用来给出一个非常大的值而使方程的输出满足一个特定的结果。

性质

不等具有下列性质：

三分律：

对任意实数$a$、$b$，只有下列之一是真的：

• $a<b$
• $a=b$
• $a>b$

调换性质：

对任意实数$a$、$b$：

• $a<b$ 和 $b>a$ 是等价的。
• $a\leq b$ 和 $b\geq a$ 是等价的。

传递性：

对任意实数$a$、$b$、$c$：

• 如果 $a<b$ 且 $b<c$，则 $a<c$。
• 如果 $a\leq b$ 且 $b\leq c$，则 $a\leq c$。
• 如果 $a<b$ 且 $b\leq c$，则 $a<c$。
• 如果 $a\leq b$ 且 $b<c$，则 $a<c$。

加法性质：

对任意实数$a$、$b$、$c$：

• 若 $a>b$；则 $a+c>b+c$ 。
• 若 $a<b$；则 $a+c<b+c$。

乘法性质：

对任意实数$a$、$b$、$c$，且有$c\neq 0$：

• 若$c$为 正数 且 $a>b$；则 $ac>bc$。
• 若$c$为 正数 且 $a<b$；则 $ac<bc$ 。
• 若$c$为 负数 且 $a>b$；则 $ac<bc$ 。
• 若$c$为 负数 且 $a<b$；则 $ac>bc$。

注意：当遇上不等关系求解时，比如已知 $A>B$，$C>D$，不可以认为 $A-C>B-D$，但根据此描述可知 $A-D>B-C$ 是真的。

链式表示法

• $a<b<c$ 代表“$a<b$ 且 $b<c$”。
• $a\leq b\leq c$ 代表“$a\leq b$ 且 $b\leq c$”。
• $a<b\leq c$ 代表“$a<b$ 且 $b\leq c$”。
• $a\leq b<c$ 代表“$a\leq b$ 且 $b<c$”。

举例

• 若$x>0$ ；则

$x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}},$

• 若$x>0$；则

$x^{x^{x}}\geq x\,$

• 若$x,y,z>0$；则

$(x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2\,$

• 若$x,y,z>0$；则

$x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{\frac {x+y+z}{3}},$

• 若$a,b>0$；则

$a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}\,$

• 若$a,b>0$；则

$a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}\,$

• 若$a,b,c>0$；则

$a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}\,$

• 若$a_{1},\ldots ,a_{n}>0$；则

$a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1$

• 对于实数 $a$、$b$、$c$、$d$，若 $a<b$ 且 $c<d$；则

  $a+c<b+d$

  • 证明

    $a<b$

    (10) [前提]

    $c<d$

    (15) [前提]

    $a-b<0$

    (20) 源自 (10)

    $0<d-c$

    (25) 源自 (15)

    (20) 及 (25) 经由传递性质可以得到

    $a-b<d-c$

    (30) 源自 (20) (25)

    $a-b+(b+c)<d-c+(b+c)$

    (35) 源自 (30)

    $a+c<b+d$

    (40) 源自 (35) [结论]

• 对于实数 $a$、$b$、$c$、$d$，若 $a<b$ 且 $c<d$；则

$a-d<b-c$

• 证明

$a<b$ (45) [前提] $c<d$ (50) [前提] $-c>-d$ (55) 源自 (50) $-d<-c$ (60) 源自 (55) (45) 及 (60) 经由此描述可以得到 $a+(-d)<b+(-c)$ (65) 源自 (45) (60) $a-d<b-c$ (70) 源自 (65) [结论]

参见

• 二元关系
• 偏序关系
• 不等号
• 不等式列表