十四面体

**十四面体**
部分的十四面体
; 韦尔—费伦结构十四面体	; 截半立方体
; 十二角柱	; 双七角锥
; 正三角台塔柱	; 恰萨尔十四面体

在几何学中，十四面体是指由十四个面组成的多面体，而每个面都是正多边形的十四面体有时称为半正十四面体。

半正十四面体并不唯一，不像半正五面体、半正七面体只有一个，半正十四面体有四个，分别是截半立方体、截角立方体、截角八面体和正十二角柱。除了半正十四面体之外，十四面体可以是十三角锥、双七角锥、七方偏方面体、正三角台塔柱、同相双三角台塔、三侧锥三角柱、截对角六方偏方面体、侧台塔截角四面体、恰萨尔十四面体等多面体^[1]。在凸十四面体中，有1,496,225,352种不同拓朴结构的十四面体具有至少9个顶点^[2]。

常见的十四面体[编辑]

十二角柱[编辑]

十二角柱是一种底面为十二边形的柱体，是十四面体的一种，其由14个面、36条边和24个顶点组成。正十二角柱代表每个面都是正多边形的十二角柱，其每个顶点都是2个正方形和1个十二边形的公共顶点，顶点图以 $4{.}4{.}12$ 表示，在施莱夫利符号中可以利用{12}×{} 或 t{2, 12}来表示；在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以利用来表示；在威佐夫符号（英语：Wythoff symbol）中可以利用2 12 | 2来表示；在康威多面体表示法中可以利用P12来表示。若一个正十二角柱底边的边长为 $s$ 、高为 $h$ ，则其体积 $V$ 和表面积 $S$ 为^[3]：

V=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)hs^{2}\approx 11.1962hs^{2}

S=6s\left(2h+\left(2+{\sqrt {3}}\right)s\right)\approx 6s\left(2h+3.73205s\right)

十三角锥[编辑]

十三角锥是一种底面为十三边形的锥体，其具有14个面、26条边和14个顶点，其对偶多面体是自己本身。正十三角锥是一种底面为正十三边形的十三角锥。^[4]。正十三角锥是一种底面为正十三边形的十三角锥。若一个正十三角锥底边的边长为 $s$ 、高为 $h$ ，则其体积 $V$ 和表面积 $S$ 为^[4]：

V={\frac {13hs^{2}\cot {\frac {\pi }{13}}}{12}}\approx 4.39526hs^{2}

S={\frac {13s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{13}}}}+s\cot {\frac {\pi }{13}}\right)}{4}}\approx 3.25s\left({\sqrt {4h^{2}+16.4605s^{2}}}+4.05716s\right)

双七角锥[编辑]

双七角锥是指以七边形做为基底的双锥体，可以视为两个七角锥以底面对底面组合成的多面体或一个七边形（不含内部）的每一个顶点向它所在的平面外一点与该点由平面镜射所产生的另外一个点依次连直线段而构成。所有双七角锥都有14个面，21个边和9个顶点^[5]。

七方偏方面体[编辑]

在几何学中，七方偏方面体（英语：Heptagonal Trapezohedron）是一个由14个全等的筝形组成的多面体，为七角反角柱的对偶。所有七方偏方面体都有14个面、28条边和16个顶点^[6]。

四角丸塔[编辑]

四角丸塔是指以四边形为底的丸塔，是一种十四面体，由1个四边形顶面、1个八边形底面、4个五边形侧面和8个三角形侧面组成，共有14个面、28条边和16个顶点，其中四边形与八边形互相平行，三角形与五边形交错地围绕轴分布在周围。

以正方形为底的四角丸塔称为正四角丸塔，其仅有顶面和底面为正多边形，分别为顶面的正方形和底面的正八边形，侧面可能可以存在正三角形或存在正五边形，但有正三角形面时，五边形最多仅能是等边不等角的非正五边形；有正五边形面时，三角形会出现等腰三角形，故不属于约翰逊多面体。唯一属于约翰逊多面体的丸塔仅有正五角丸塔^[7]。

正四角丸塔的对称群为C_4v（英语：Dihedral symmetry in three dimensions）群，阶数为8阶。

二侧锥六角柱[编辑]

二侧锥六角柱是指在六角柱的两个四边形侧面上各叠上一个四角锥所构成的几何体。

二侧锥六角柱可以分成三种，一种是叠上的两个四角锥位于六角柱两相对的侧面上，称为对二侧锥六角柱；一种是叠上的两个四角锥中间相隔一个侧面，称为间二侧锥六角柱；另一种是叠上一个四角锥位于六角柱上两相邻的四边形侧面上，称为邻二侧锥六角柱。其中，间二侧锥六角柱和对二侧锥六角柱是一种约翰逊多面体。^[8]^[9]

邻二侧锥六角柱
间二侧锥六角柱
对二侧锥六角柱

半正十四面体[编辑]

半正多面体并非只包含阿基米德立体^[10]^[11]，它包含了所有由正多边形组成且具有严格对称的多面体，包含了正棱柱和正反棱柱。其中14个面的半多面体包括了3个阿基米德立体和1个正棱柱，分别为截半立方体、截角立方体、截角八面体和十二角柱。^[12]

名称 (顶点布局)	面		边	顶点	所属点群
截半立方体 (截半八面体) (3.4.3.4)	14	正三角形×8 正方形×6	24	12	O_h群
截角立方体 (3.8.8)	14	三角形×8 八边形×6	36	24	O_h群
截角八面体 (4.6.6)	14	正方形×6 六边形×8	36	24	O_h群
十二角柱 (4.4.12)	14	正方形×10 十二边形×2	36	24	D_12h

约翰逊多面体[编辑]

共有8个约翰逊多面体具有14个面，分别为正三角台塔柱、同相双三角台塔、三侧锥三角柱、二侧锥六角柱（两种）、侧台塔截角四面体、球状屋顶和双新月双丸塔^[13]。

名称	种类	编号	顶点	边	面	面的种类	对称性
正三角台塔柱	台塔柱	J₁₈^[14]	15	27	14	4个正三角形 9个正方形 1个六边形	C_3v
同相双三角台塔	同相双台塔	J₂₇^[15]	12	24	14	8个正三角形 6个正方形	D_3h
三侧锥三角柱	侧锥柱	J₅₁^[16]	9	21	14	14个正三角形	D_3h
对二侧锥六角柱	侧锥柱	J₅₅^[17]	14	26	14	8个正三角形 4个正方形 2个六边形	D_2h
间二侧锥六角柱	侧锥柱	J₅₆^[18]	14	26	14	8个正三角形 4个正方形 2个六边形	C_2v
侧台塔截角四面体	侧台塔阿基米德立体	J₆₅^[19]	15	27	14	8个正三角形 3个正方形 3个六边形	C_3v
球状屋顶		J₈₆^[20]	10	22	14	12个正三角形 2个正方形	C_2v
双新月双丸塔		J₉₁^[21]	14	26	14	8个正三角形 2个正方形 4个正五边形	D_2h

十四面体列表[编辑]

名称	种类	符号	顶点	边	面	χ	面的种类	对称性
十二角柱	棱柱体	t{2,12} {12}x{}	24	36	14	2	2个十二边形 12个矩形	D_12h, [12,2], (*12 2 2)
十三角锥	棱锥体	( )∨{13}	14	26	14	2	1个十三边形 13个三角形	C_13v, [13], (*13 13)
六角反棱柱	反棱柱	s{2,12} sr{2,6}	12	24	14	2	2个六边形 12个三角形	D_6d, [2⁺,12], (2*6), 24阶
六角台塔	台塔	{6}\|\|t{6}	18	30	14	2	6个三角形 6个正方形 1个六边形 1个十二边形	C_6v, [1,6], (*66), 12阶
双七角锥	双锥体	{ }+{7}	9	21	14	2	14个三角形	D_7h, [7,2], (*722), 28阶
七方偏方面体	偏方面体	{ }⨁{7}^[22]	16	28	14	2	14个筝形	D_7d, [2⁺,7], (2*7)
四角丸塔	丸塔		16	28	14	2	1个四边形顶面 1个八边形底面 4个五边形侧面 8个三角形侧面	C_4v（英语：Dihedral symmetry in three dimensions）, [4], (*44), 8阶
截对角六方偏方面体	截对角偏方面体		24	36	14	2	2个五边形侧面 2个六边形底面	D_6d, [12,2⁺], 2*6, 24阶
邻二侧锥六角柱	侧锥柱		14	26	14	2	8个正三角形 4个正方形 2个六边形
韦尔—费伦结构十四面体	空间填充立体对		24	36	14	2	4+8个五边形 2个六边形
恰萨尔十四面体	环形多面体（英语：Toroidal_polyhedron）		7	21	14	0	2个等边三角形 2个等腰三角形 10个钝角三角形	C₁, [ ]⁺, (11)