单位根

复平面上的三次单位根

数学上，$\,n\,$次单位根是$\,n\,$次幂为1的复数。它们位于复平面的单位圆上，构成正多边形的顶点，但最多只可有两个顶点同时标在实数线上。

定义

$z^{n}=1\qquad (n=1,2,3,\cdots )$

这方程的复数根 $z\,$为$n\,$次单位根。

单位的 $n\,$次根有 $n\,$个：

$e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}\qquad (k=0,1,2,\cdots ,n-1)$。

本原根

单位的 $n\,$次根以乘法构成$n$阶循环群。它的生成元是 $n\,$次本原单位根。$n\,$次本原单位根是$e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}$，其中$k\,$和$n\,$互质。$n\,$次本原单位根数目为欧拉函数$\varphi (n)$。 全体i次单位根对普通乘法作成群，即i次单位根群。所有全体i次单位根群在普通乘法下也可作成群，且这是一个无限交换群，这个无限交换群里的每个元素的阶都有限。

例子

一次单位根有一个: $1\,$。

二次单位根有两个: $1\,$和$-1\,$，只有$-1\,$是本原根。

三次单位根是

$\left\{1,{\frac {-1+{\sqrt {3}}{i}}{2}},{\frac {-1-{\sqrt {3}}{i}}{2}}\right\},$

其中${i}$是虚数单位；除$1\,$外都是本原根。

四次单位根是

$\left\{1,i,-1,-i\right\},$

其中$i$和$-i$是本原根。

和式

当$n\,$不小于$2\,$时，$n\,$次单位根总和为$0\,$。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是等比级数：

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}={\frac {e^{\frac {2\pi k{n}i}{n}}-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}={\frac {1-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}=0$。

第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点，而从对称性知这多边形的重心在原点。

还有一个证法利用关于方程根与系数的韦达定理，由分圆方程的$x^{n-1}\,$项系数为零得出。