四角化立方体

四角化立方体图
度分布	4 (6个); 6 (8个)
顶点	14
边	36
半径	3
直径	3
围长	3
色数	3
色指数	6
对偶图	截角八面体图（英语：Truncated octahedral graph）
属性	平面, 可积（英语：Integral graph）
	查; 论; 编;

**四角化立方体**
	; （按这里观看旋转模型）
类别	卡塔兰立体
对偶多面体	截角正八面体
识别
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	tekah
数学表示法
考克斯特符号; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）	;
康威表示法	kC; dtO
性质
面	24
边	36
顶点	14
欧拉特征数	F=24, E=36, V=14 （χ=2）
二面角	143°07′48″;
组成与布局
面的种类	V4.6.6; 等腰三角形
面的布局; （英语：Face configuration）	6{4}+8{6}
顶点图	V4.6.6
对称性
对称群	Oh, B3, [4,3], (*432)
旋转对称群; （英语：Rotation_groups）	O, [4,3]+, (432)
特性
	凸、面可递
图像
	; V4.6.6; （顶点图）
; 截角正八面体; （对偶多面体）	; （展开图）
	查; 论; 编;

在几何学中，四角化立方体又称为四角化六面体是一种卡塔兰立体，其对偶多面体为截角正八面体，由24个全等的等腰三角形组成，具有36条边和14个顶点^[1]，可以视为在正方体的每个面上加入正四角锥的结果。此外四角化立方体亦可以视为正方形四边各加一个等腰三角形拼成的正八边形在立体几何中的推广。

性质[编辑]

四角化立方体是一个卡塔兰立体^[2]，由24个面、36条边和14个顶点组成^[1]，其中24面为24个全等的等腰三角形，是一种二十四面体，其对偶多面体为截角八面体^[3]^[4]。在四角化立方体的14个顶点中，有6个顶点是4个等腰三角形的公共顶点，对应的顶角是四面角；另外8个顶点是6个等腰三角形的公共顶点，对应的顶角是六面角^[5]^[6]。

此外四角化立方体可以视为在正方体的每个面上加入适当锥高的正四角锥的结果^[7]，其加入的正四角锥锥高不能高过原本的正方体表面到其外接球的距离，为四分之一倍的立方体边长^[8]，若超过则会变成菱形十二面体或星形的四角化立方体。

此外，立方体、八面体和星形八面体都可以以顶点共用的方式，内接在四角化立方体内^[8]。

体积与表面积[编辑]

若四角化立方体的最短的边长为a，则其表面积A及体积V为^[8]：

表面积

A=a^{2}\times {\frac {16{\sqrt {5}}}{3}}\approx a^{2}\times 11.9257

体积为

V=a^{3}\times {\frac {32}{9}}\approx a^{3}\times 3.5556

。

若其对偶多面体的截角正八面体边长为a，则对应的四角化立方体之体积V为^[5]：

体积为

V=a^{3}\times {\frac {81{\sqrt {2}}}{8}}\approx a^{3}\times 14.3189

。

面的组成[编辑]

四角化立方体由24个全等的等腰三角形组成^[9]。

组成四角化立方体的等腰三角形的2个底角为arccos $\scriptstyle {\left({\tfrac {2}{3}}\right)}$ 约为48.19°^[10]，由三角形内角关系可知顶角约为83.62°^[11]^[10]，边长比为1:1: ${\begin{matrix}{\frac {4}{3}}\end{matrix}}$ ^[12]^[10]。

顶点坐标[编辑]

若一个四角化立方体对应的对偶多面体边长为单位长（对应的四角化立方体最短边长为 ${\tfrac {9{\sqrt {2}}}{8}}$ 单位）且几何中心位于原点，则其顶点坐标为^[13]：

\left(0\,,\quad 0\,,\quad \pm {\frac {9{\sqrt {2}}}{8}}\right)

\left(\pm {\frac {9{\sqrt {2}}}{8}}\,,\quad 0\,,\quad 0\right)

\left(0\,,\quad \pm {\frac {9{\sqrt {2}}}{8}}\,,\quad 0\right)

\left(\pm {\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\,,\quad \pm {\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\,,\quad \pm {\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\right)

对称性[编辑]

四角化立方体具有T_d, [3,3] (*332)的四面体群对称性（英语：tetrahedral symmetry），其24个等腰三角形代表四面体对称的24个基本域。在球面上，四角化立方体可以透过6个球面大圆来构建。相同的结构也可以透过将立方体在每个正方形面上以正方形的几何中心为基准将正方形分成四个三角形^[14]、或透过将正四面体在每个三角形面上以正三角形的顶点、边中点和几何中心为基准将正三角形分成6个三角形来看出。

四角化立方体可以投影到球面上，形成球面多面体^[15]。在球极平面投影中，四角化立方体的棱可以在平面上形成6个圆或中心径向线，每个圆或中心径向线皆代表四面体群对称性的镜射线。这6个圆可以分成3组每两两一对的正交圆，这三组正交圆，每组在球面上皆可以视为1个正四面形。

球极平面投影			透视投影		施莱格尔投影（英语：Schlegel diagram）

[4]	[3]	[2]	歪斜

正交投影[编辑]

四角化立方体有三种高对称性的正交投影，分别为两种在顶点上的正交投影以及一种在棱上中点的正交投影。后两者的对偶图其对称性对应于B₂和A₂的考克斯特平面（英语：Coxeter plane）^[16]^[17]。

正交投影
投影对称性	[2]	[4]	[6]
四角化立方体
截角八面体

使用[编辑]

在矿物学中，这种形状又称为四六面体^[18]（英语：tetrahexahedron^[19]^[20]），部分的矿石可以结晶成这种形状^[21]^[22]，例如部分的钙铁榴石^[23]，以及能在部分的铜和氟的结晶系统中被观测到。

此外，亦有部分24个面的多面体骰子被设计为四角化立方体的外型^[24]。