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是一种几何图形,指的是平面中到一个定距离为定值的所有点的集合。这个给定的点称为圆的圆心。作为定值的距离称为圆的半径。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时,它的另一个端点的轨迹就是一个圆。根据定义,通常用圆规来画圆。

圆作为一条闭合的曲线,将平面分为两个部分,即圆的内部和圆的外部。日常生活中的圆既可以指作为边界的曲线(这时也称为圆周),也可以指这条曲线以及它内部的部分的总和(这时也称为圆盘)。圆周的长度称为圆的周长

圆是特殊的椭圆,所以是圆锥曲线的一种。当椭圆的离心率等于0,也就是说两个焦点重合时,就是一个圆。换句话说,圆是用垂直于圆锥对称轴线的平面截取圆锥所得到的平面曲线。

数学[编辑]

定义[编辑]

欧几里德几何[编辑]

在《几何原本》中,圆是平面图形的一种,是一个闭合曲线,使得平面上有一个,这点到该图形上任一所连之直线段长度相等[1]

解析几何[编辑]

AE中的圆环用的就是上面参考方程,从而控制角度,确定每个角度的XY位置,当然再这之前你要将弧度转化角度

概念和特性[编辑]

CirclesLines ZH.png

切线[编辑]

  • 切线:过圆上一点的切线:设该点为P(xo,yo),圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²,则该点和圆的切线方程为:(xo-a)*(x-a)+(yo-b)*(y-b)=r².
  • 直径:圆上每一点都到一个定点距离相等,这个点叫做圆的圆心(通常用O表示)。从圆心到圆上任何一点的距离被称为圆的半径(通常用r表示)。圆上两点最大距离是半径的两倍,也被称为圆的直径(通常用d表示)。离圆心距离小于或等于半径的所有点组成一个圆盘
k = \{X\in E\mid{}\overline{MX} <= r\}
  • 周长:圆的一周的长度被称为圆的周长(记作C)。圆的周长与半径的关系是:
C= \pi dC= 2 \pi r

其中\pi圆周率

S = \pi r^2
  • 弦:圆周的一部分被称为圆弧。圆周上任何两点相连的线段被称为圆的。圆内最长的弦会通过圆心,其长度等于圆的直径。
Sehnentangentenwinkel.png
  • 切线、割线:假如一条直线与圆相交仅有一个交点P,那么称这条直线是这个圆的切线,与圆相切于点P。这个交点P称为切点。过切点和圆心的直线与切线垂直

假如一条直线与圆相交有两个交点的话,那么称这条直线是这个圆的割线

  • 圆心角:给定圆周上某两点A,\;B,那么它们与圆心O张成的\angle AOB叫做圆心角。圆周上任意三点组成的角叫圆周角。设圆周上有三点A,\; B,\; C,圆心为O,那么:
\angle AOB=2\; \angle ACB.

也就是说,圆周角对应的圆心角的度数是它的两倍。由此可以推出,只要圆周角其中两点AB保持不变,改变第三点C在圆周上的位置,所形成的圆周角\angle ACB角度不变,都等于圆心角\angle AOB角度的一半。

圆心角示意图

两圆位置关系[编辑]

Two circles.png

两个不同大小的圆(半径分别为rR,圆心距为d,其中r < R)之间的可能关系如下:

  1. d = 0:两圆不相交(内含),互为同心圆
  2. 0 < d < R - r:两圆不相交(内含,亦称“内离”)。
  3. d = R - r:两圆相交于一点(内切),有1条共同切线。
  4. d = R + r:两圆相交于一点(外切),有3条共同切线。
  5. R - r < d < R + r:两圆相交于两点,有2条共同切线。
  6. d > R + r:两圆不相交(外离),有4条共同切线。

圆系方程[编辑]

数学中,符合特定条件的构成一个集合,称为圆系,描述圆系的方程即为圆系方程。


类型

  • 过两圆x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2交点的圆系方程为:
    • x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1+λ(x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2)=0 (λ≠-1)


  • 过直线Ax+By+C=0与圆x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1的交点为:
    • x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1+λ(Ax+By+C)=0


  • 过两圆x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2交点的直线方程为:
    • x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1-(x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2)=0

推广[编辑]

非欧几何中(比如在球面几何中)也有相应的圆的定义。

圆可以看作是一种特殊的椭圆,即当椭圆的两个焦点重合,离心率等于0时的情况。参见椭圆

可以定义三维空间中到一个定点距离相等的所有点的集合。这样定义得到的是一个空间中的闭合曲面,叫做球面

在测度空间中,圆的定义仍旧指距离一定点等距(在该测度下)的点的集合,不过随着测度的不同,定义出来的圆的形状也可能大不相同。例如在出租车测度底下定义出来的圆,实际上的形状(在一般的观点中)会是一个正方形。

相关的立体图形[编辑]

切面为圆的三维形状有:

圆和其他平面形状(特别是三角形)[编辑]

当多边形的每条边固定,以有外接圆的图形面积最大(参见等周定理)。

圆的问题[编辑]

历史[编辑]

早在有记载的历史之前,人类就已经对圆有了一定的认识。早在战国时代,墨子已经为圆下了一个定义:圆,一中同长也(圆就是一个到一点之距离为定长的点的轨迹)。

字源[编辑]

“圆”字亦作“圜”、“员”,是形声字。《正字通》认为“圆”本来应该是“丸”,因读音相近而有了圆形的意思。

哲学意义[编辑]

圆形被认为完美、完整的图形。古希腊人因“圆形是最完美的图形”这个概念,引伸了不少思想:毕达哥拉斯认为地球是圆的;柏拉图认为正圆是行星的轨道。古代中国人亦认为“天圆地方”,天是圆的。

圆形(圆)和正方形(方)经常被视为对立的概念。

纵使如此,古中国人亦认为圆是封闭的概念,因为在一个圆形里,是没有门或任何出口的。

参考来源[编辑]