循环单位

在趣味数学中，循环单位是由1组成的数如1, 11, 111, 1111等。

1966年，A.H. Beiler称这类数为repunit，表示repeated unit。

对于n≥1，循环单位可以这样定义：

$R_{n}^{(b)}={b^{n}-1 \over b-1}\qquad \,\!$

亦可以用递归的方法：

$R_{0}=0\,\!$

$R_{n}=bR_{n-1}+1\,\!$

其中$b\,\!$是进位制的底。在这篇文章，循环单位都是指十进制中的。

循环单位的平方

$R_{1}\,\!$至$R_{b}\,\!$的循环单位，$R_{n}\,\!$的平方有一个很有趣的性质，它们都会得出由1到$n\,\!$的数字顺序组成的回文数。例如十进制中的：

        1×1        =        1
       11×11       =       121
      111×111      =      12321
     1111×1111     =     1234321
    11111×11111    =    123454321
   111111×111111   =   12345654321
  1111111×1111111  =  1234567654321
 11111111×11111111 = 123456787654321
111111111×111111111=12345678987654321

而上述原则于十进制，只在$n<10\,\!$的情况下才能生效，因为在$n>9\,\!$的情况下，$R_{n}\,\!$的平方已经不能组成回文数。例如：

      11111111111×1111111111      =      1234567900987654321
     111111111111×11111111111     =     123456790120987654321
    1111111111111×111111111111    =    12345679012320987654321
   11111111111111×1111111111111   =   1234567901234320987654321
  111111111111111×11111111111111  =  123456790123454320987654321
 1111111111111111×111111111111111 = 12345679012345654320987654321
11111111111111111×1111111111111111=1234567901234567654320987654321
...

虽然在$9<n<19\,\!$的情况下，$R_{n}\,\!$的平方不能组成回文数，却有着固定的结构：

1. 如果$n=10\,\!$，前缀：123456790，后缀：0987654321
2. 如果$n>10\,\!$，前缀：123456790，中段：从1开始顺序数数，直至得出$n\,\!$与9的差，再倒数至2，后缀：0987654321

循环单位质数

当$n$能被大于1的$k$整除时，$R_{k}|R_{n}$（例如$111111111=111\times 1001001$），因此若$R_{n}$是质数，$n$必须是质数。

现在已知$n=2,19,23,317,1031$时，$R_{n}$是质数，而$n=49081,86453,109297,270343,5794777,8177207$的$R_{n}$则可能是伪素数，$R_{8177207}$是目前已知最大的可能质数。

号码	n	年份	发现者
1	2	－	－
2	19	－	－
3	23	－	－
4	317	1978年	Williams, Dubner
5	1031	1986年	Dubner
6	49081	1999年	Dubner
7	86453	2000年	Baxter
8	109297	2007年	Bourdelais, Dubner
9	270343	2007年	Voznyy, Budnyy
10	5794777	2021年	Batalov, Propper
11	8177207	2021年	Batalov, Propper

参见

• 循环单位因数表