抛物面坐标系

抛物面坐标系（英语：Paraboloidal coordinates）是一种三维正交坐标系，是二维抛物线坐标系的推广。与大多数的三维正交坐标系的生成方法不同，抛物面坐标系不是由任何二维正交坐标系延伸或旋转生成的。

基本公式[编辑]

从直角坐标 $(x,\ y,\ z)$ 变换至抛物面坐标 $(\lambda ,\ \mu ,\ \nu )$ ：

x^{2}={\frac {\left(A-\lambda \right)\left(A-\mu \right)\left(A-\nu \right)}{B-A}}

、

y^{2}={\frac {\left(B-\lambda \right)\left(B-\mu \right)\left(B-\nu \right)}{A-B}}

、

z={\frac {1}{2}}\left(A+B-\lambda -\mu -\nu \right)

；

其中，抛物面坐标遵守以下限制：

\lambda <B<\mu <A<\nu

。

$\lambda$ -坐标曲面是椭圆抛物面 (elliptic paraboloid) ：

{\frac {x^{2}}{\lambda -A}}+{\frac {y^{2}}{\lambda -B}}=2z+\lambda

。

$\mu$ -坐标曲面是双曲抛物面：

{\frac {x^{2}}{\mu -A}}+{\frac {y^{2}}{\mu -B}}=2z+\mu

。

$\nu$ -坐标曲面也是椭圆抛物面：

{\frac {x^{2}}{\nu -A}}+{\frac {y^{2}}{\nu -B}}=2z+\nu

。

抛物面坐标的标度因子分别为

h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\nu -\lambda \right)}{\left(A-\lambda \right)\left(B-\lambda \right)}}}

、

h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\mu \right)\left(\lambda -\mu \right)}{\left(A-\mu \right)\left(B-\mu \right)}}}

、

h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{\left(A-\nu \right)\left(B-\nu \right)}}}

。

无穷小体积元素等于

dV={\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{8{\sqrt {\left(A-\lambda \right)\left(B-\lambda \right)\left(A-\mu \right)\left(\mu -B\right)\left(\nu -A\right)\left(\nu -B\right)}}}}\ d\lambda d\mu d\nu

。

其它微分算子，例如 $\nabla \cdot \mathbf {F}$ 、 $\nabla \times \mathbf {F}$ ，都可以用椭球坐标表达，只需要将标度因子代入正交坐标条目内对应的一般公式。

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