标准差

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图中红蓝两组数据平均值相同,但标准差不同。红色数据的标准差较蓝色数据的标准差要小。

标准差,又称标准偏差均方差 (英语:standard deviation,缩写SD,符号σ),在概率统计中最常使用作为测量一组数值的离散程度之用。标准差定义:为方差算术平方根,反映组内个体间的离散程度;标准差与期望值之比为标准离差率。测量到分布程度的结果,原则上具有两种性质:

  1. 为非负数值(因为平方后再做平方根);
  2. 与测量资料具有相同单位(这样才能比对)。

一个总量的标准差或一个随机变量的标准差,及一个子集合样品数的标准差之间,有所差别。其公式如下所列。

标准差的概念由卡尔·皮尔逊引入到统计中。

阐述及应用[编辑]

简单来说,标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差,代表大部分的数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。

例如,两组数的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7,但第二个集合具有较小的标准差。

表述“相差个标准差”,即在 样本(sample)范围内考量。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较),则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值是否正确。

标准差应用于投资上,可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大,代表回报远离过去平均数值,回报较不稳定故风险越高。相反,标准差数值越小,代表回报较为稳定,风险亦较小。

总体的标准差[编辑]

基本定义[编辑]

为平均值。

简化计算公式[编辑]

上述公式可以如下代换而简化:

所以:

根号里面,亦即方差)的简易口诀为:“平方和的平均”减去“平均的平方”。

总体为随机变量[编辑]

随机变量的标准差定义为:

须注意并非所有随机变量都具有标准差,因为有些随机变量不存在期望值。 如果随机变量具有相同概率,则可用上述公式计算标准差。

离散随机变量的标准差[编辑]

是由实数构成的离散随机变量(英语:discrete random variable),且每个值的概率相等,则的标准差定义为:

 ,其中 

换成用来写,就成为:

 ,其中 

目前为止,与总体标准差的基本公式一致。

然而若每个可以有不同概率,则的标准差定义为:

 ,其中 

这里,的数学期望。

连续随机变量的标准差[编辑]

为概率密度连续随机变量(英语:continuous random variable),则的标准差定义为:

其中的数学期望:

标准差的特殊性质[编辑]

对于常数和随机变量

其中:
  • 表示随机变量协方差
  • 表示,即的方差),对亦同。

样本的标准差[编辑]

在真实世界中,找到一个总体的真实的标准差并不实际。大多数情况下,总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

从一大组数值当中取出一样本数值组合,常定义其样本标准差

样本方差是对总体方差无偏估计。之所以中的分母要用而不是像总体样本差那样用,是因为自由度,这是由于存在约束条件

范例[编辑]

这里示范如何计算一组数的标准差。例如一群孩童年龄的数值为{ 5, 6, 8, 9 }:

  • 第一步,计算平均值
(因为集合里有4个数),分别设为:

则平均值为

  • 第二步,计算标准差

正态分布的规则[编辑]

深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围,在正态分布中,此范围所占比率为全部数值之68%;两个标准差之内(深蓝,蓝)的比率合起来为95%;三个标准差之内(深蓝,蓝,浅蓝)的比率合起来为99.7%。

在实际应用上,常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确,则约68%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围,约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围,以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”。

.[1]
Percentage within(z)
z(Percentage within)

数字比率
标准差值
概率 包含之外比例
百分比 百分比 比例
0.318 639σ 25% 75% 3 / 4
0.674490σ 50% 50% 1 / 2
0.994458σ 68% 32% 1 / 3.125
1σ 68.2689492% 31.7310508% 1 / 3.1514872
1.281552σ 80% 20% 1 / 5
1.644854σ 90% 10% 1 / 10
1.959964σ 95% 5% 1 / 20
2σ 95.4499736% 4.5500264% 1 / 21.977895
2.575829σ 99% 1% 1 / 100
3σ 99.7300204% 0.2699796% 1 / 370.398
3.290527σ 99.9% 0.1% 1 / 1000
3.890592σ 99.99% 0.01% 1 / 10000
4σ 99.993666% 0.006334% 1 / 15787
4.417173σ 99.999% 0.001% 1 / 100000
4.5σ 99.9993204653751% 0.0006795346249% 1 / 147159.5358
3.4 / 1000000 (每一边)
4.891638σ 99.9999% 0.0001% 1 / 1000000
5σ 99.9999426697% 0.0000573303% 1 / 1744278
5.326724σ 99.99999% 0.00001% 1 / 10000000
5.730729σ 99.999999% 0.000001% 1 / 100000000
6σ 99.9999998027% 0.0000001973% 1 / 506797346
6.109410σ 99.9999999% 0.0000001% 1 / 1000000000
6.466951σ 99.99999999% 0.00000001% 1 / 10000000000
6.806502σ 99.999999999% 0.000000001% 1 / 100000000000
7σ 99.9999999997440% 0.000000000256% 1 / 390682215445

标准差与平均值之间的关系[编辑]

一组数据的平均值及标准差常常同时作为参考的依据。从某种意义上说,如果用平均值来考量数值的中心的话,则标准差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。较确切的叙述为:设实数,定义函数

使用微积分或者通过配方法,不难算出在下面情况下具有唯一最小值:

几何学解释[编辑]

几何学的角度出发,标准差可以理解为一个从维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子,一组数据中有3个值,。它们可以在3维空间中确定一个。想像一条通过原点的直线。如果这组数据中的3个值都相等,则点就是直线上的一个点,的距离为0,所以标准差也为0。若这3个值不都相等,过点垂线垂直于于点,则的坐标为这3个值的平均数:

运用一些代数知识,不难发现点与点之间的距离(也就是点到直线的距离)是。在维空间中,这个规律同样适用,把换成就可以了。

参考文献[编辑]

  1. ^ Eric W. Weisstein. Distribution Function. MathWorld—A Wolfram Web Resource. [2014-09-30]. (原始内容存档于2021-04-02). 

外部链接[编辑]