自然数

各种各样的数

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}$ 整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}$ 高斯整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}$ 代数数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}$ 实数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}$ 复数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}$ 负数 分数 单位分数 无限小数 规矩数 无理数 超越数 二次无理数 虚数 艾森斯坦整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}$

延伸

双复数 四元数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}$ 共四元数 八元数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}$ 超数 上超实数 超现实数 超复数 十六元数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}$ 复四元数 大实数 超实数 $\begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}$

其他

对偶数 双曲复数 序数 质数 同余 可计算数 阿列夫数 公称值 超限数 基数 P进数 规矩数 整数序列 数学常数 圆周率 $\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}$ = 3.141592653… 自然对数的底 $\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}$ = 2.718281828… 虚数单位 $\begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}$ = $\begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}$ 无穷大 $\begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}$

自然数，可以是指正整数（1, 2, 3, 4...），亦可以是非负整数（0, 1, 2, 3, 4...）。在数论通常用前者，而集合论和计算机科学则多数使用后者。认为自然数不包含零的其中一个理由是因为人们（尤其是小孩）在开始学习数字的时候是由“一、二、三...”开始，而不是由“零、一、二、三...”开始, 因为这样是很不自然的。

自然数通常有两个作用：

• 可以被用来计数（如“有三个苹果”），参阅基数；
• 也可用于排序（如“这是国内第三大城市”），参阅序数。

自然数有关整除性的特性，例如素数的分布，属于数论研究范围的课题。有关计数的问题，比如Ramsey理论在组合学中研究。

数学家一般以$\mathbb{N}$代表以自然数组成的集合。这是一个可数的，无上界的无穷集合。

历史与0的定性

自然数由数数目而起。古希腊人最早研究其抽象特性，当中毕达哥拉斯学派更视之为宇宙之基本。其它古文明也对其研究作出极大贡献，尤其以印度对0的接受，为人称道。

零早于公元前400年被巴比伦人用作数码使用。玛雅人于公元200年将零视为数字，但未与其它文明有所交流。现代的观念由印度学者婆罗摩笈多于公元628年提出，经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人开始时仍对零作为数字感到抗拒，认为零不是一个“自然”数。

19世纪末，集合论者给自然数一个较严谨的定义。据此定义，把零（对应于空集）包括于自然数内更为方便。逻辑论者及电算机科学家，接受集合论者的定义。而其他一些数学家，主要是数论学家，则依从传统把零拒之于自然数之外。

在全球范围内，目前针对0是否属于自然数的争论依旧存在。

在中国大陆，2000年左右之前的中小学教材一般不将0列入自然数之内，或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中，普遍将0列入自然数。

国际标准ISO 31-11:1992《量和单位 第十一部分：物理科学和技术中使用的数学标志与符号》（已被ISO/IEC 80000-2取代）中，从集合论角度规定：符号 $\mathbb{N}$ 所表示的自然数集是包括正整数和0。

中国于1993年制定的强制性国家标准《物理科学和技术中使用的数学符号》(GB 3102.11-93)参照国际标准ISO 31-11:1992规定：$\mathbb{N}$表示“非负整数集；自然数集”，$\mathbb{N}$={0,1,2,3,...}。

符号

数学家们使用 N 或 $\mathbb{N}$ 来表示所有自然数的集合。为了明确的表示不包含0，正整数集合一般如下表示：

• N⁺ 或 $\mathbb{N}^{+}$

• Z⁺ 或 $\mathbb{Z}^{+}$

而非负整数集合一般如下表示：

• N⁰ 或 $\mathbb{N}^{0}$
• Z⁺₀ 或 $\mathbb{Z}^{+}_{0}$

定义

为了给出自然数的严格定义，皮亚诺采用序数理论提出自然数的5条公理，被称为皮亚诺公理。这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

1. 1是自然数；
2. 每一个确定的自然数n都有一个确定的后继者，记作n⁺或n+1。n+1也是自然数；
3. 如果m、n都是自然数，并且m+1 = n+1的后继数，那么m = n；
4. 1不是任何自然数的后继者；
5. 如果一些自然数的集合S具有性质:

 (1)1在S中；(2)若n在S中，则n+1也在S中。

那么S = N。(这条公理保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理)

若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。

在基数理论中，集合论的一般作法是把一自然数看作是所有比它少的自然数组成的集合，即 0 = { }，1 = {0}，2 = {0,1}，3 = {0,1,2} ……若有人把自然数看作集合，通常就是如上。

在此定义下，在集合 n 内就有 n 个元素；而若 n 小于 m，则 n 会是 m 的子集。

性质

自然数加法可经$a+0=a$及$a+(b+1)=(a+b)+1$递归定义而成。因而得出交换幺半群$(N,+)$，是由$1$生出的自由幺半群，其中幺元为$0$。此幺半群服从消去律，可嵌入一群内：最小的是整数群。

同理，自然数乘法$\times$ 可经$a \times 0=0$及$a \times (b+1)=ab+a$ 得出。而$(N, \times)$亦是交换幺半群；$\times$和$+$服从分配律：

$a \times (b+c)=ab+ac$。

我们说$a \le b$当且仅当有自然数$c$使得$a+c=b$。$(N, \le)$是一个良序集，即每个非空子集都有一个最小的自然数。此序也和加法及乘法兼容，即若$a$，$b$和$c$都是自然数且$a \le b$，则$a+c \le b+c$及$ac \le bc$。

给出两个自然数$a$和$b$而$b \ne 0$，可找到唯一两个自然数$q$及$r$使得

$a=bq+r$

$q$称为“商数”而$r$称为“余数”。 若$r=0$则$a$可被$b$ 除尽，记为$b|a$。

相关概念有可除性，辗转相除，质数及其它数论慨念。

推广

自然数有两种推广：序数用作排列，而基数用于判定集合的大小。

对于有限序列或有限集合，序数及基数皆与自然数同。