超实数 (非标准分析)

超实数轴上的无穷小（ε）和无穷大（ω）（1/ε=ω/1）

超实数系统是为了严格处理无穷量（无穷大量和无穷小量）而提出的。自从微积分的发明以来，数学家、科学家和工程师等（包括牛顿和莱布尼兹在内）就一直广泛地用无穷小量等概念。超实数集，或称为非标准实数集，记为$^{*}\mathbb {R}$，是实数集 $\mathbb {R}$ 的一个扩张；其中含有一种数，它们大于所有如下形式的数：

$1+1+\cdots +1$（有限个）

这可以解释为无穷大；而它们的倒数就作为无穷小量。$^{*}\mathbb {R}$ 满足如下性质：任何关于 $\mathbb {R}$ 的一阶命题如果成立，则对 $^{*}\mathbb {R}$ 也成立。这种性质称为传达原理。举例来说，实数集的加法交换律

$\forall x,y\in \mathbb {R} ,x+y=y+x$

是关于 $\mathbb {R}$ 的一阶命题。因此以下命题同样成立：

$\forall x,y\in ^{*}\mathbb {R} ,x+y=y+x$

也就是说超实数集同样满足加法交换律。

无穷小量的概念是否严格呢？此问题可以追溯到古希腊数学：数学家们如欧几里得、阿基米德等，为了在一些证明里绕开无穷小量的争议以保证严格性，而采用了穷竭法等其它说明方式。而亚伯拉罕·鲁滨逊在1960年代证明了，

超实数系统是相容的，当且仅当实数系统是相容的

换句话说，如果对实数的使用没有怀疑，那也可以放心使用超实数。在处理数学分析的问题时对超实数、尤其是传达原理的使用，通称为非标准分析。

传达原理

超实数系统的想法是将实数 $\mathbb {R}$ 扩展为一个包含无穷小和无穷大数的系统 $^{*}\mathbb {R}$，但不改变代数的任何基本公理。所有形式为“对于任何数字 x ...”的任何语句，如果它在实数系中成立，那么它在超实数系也仍成立。例如，公理“对于任何数字 x，x+0=x”在 $^{*}\mathbb {R}$ 中成立。关于多个数字的量化语句也依然是如此，例如“对于任何数字 x 和 y，xy=yx”。这种将语句从实数传达到超实数的能力被称为传达原理，然而，形式为“对于任何数字集合 S...”的语句可能无法被传达。实数系和超实数系之间会产生不同的性质只有那些关于对集合的量化叙述，或者其他涉及更高级的结构，如函数和关系等，因为这些高级结构通常是由集合构造出来的。每个实数集合、函数和关系都有其自然的超实数扩展，满足相同的一阶性质，遵守这种对量化的限制的逻辑句子被称为一阶逻辑的语句。

然而，传达原理并不意味着 $\mathbb {R}$ 和 $^{*}\mathbb {R}$ 的行为完全相同。例如，在 $^{*}\mathbb {R}$ 中存在一个元素 ω，使得

$1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots .$

但在 $\mathbb {R}$ 中没有这样的数字。换句话说，$^{*}\mathbb {R}$ 不是阿基米德的。这源自于 ω 在 $\mathbb {R}$ 中的不存在性不能被表示为一阶逻辑的语句。

用于分析中

超实数量的非形式化符号在微积分的发展史上出现于两处：作为无限小，例如 dx，以及作为无限大 ，例如在不定积分的极限中使用符号 ∞。

作为传达原理的一个例子，对于任何非零数字 x，2x ≠ x，这在实数中是成立的，并且它符合转移原则所需的形式，因此它也适用于超实数。这表明在超实数系统中不可能使用通用符号 ∞ 来表示所有无限大；无限大在大小上与其他无限大不同，而无限小也与其他无限小不同。

同样，随意使用 ${\frac {1}{0}}=\infty$ 是无效的，因为“零没有乘法逆元”也适用传达原理。这种除法的严格描述应为，如果 ε 是一个非零无限小，那么 ${\frac {1}{\epsilon }}$ 是无限大。

对于任何有限的超实数 x，其标准部分 $\operatorname {st} (x)$ 被定义为最接近 x 的唯一实数，它与 x 只有微小的差异。标准部分函数也可以定义为无限超实数，方式如下：如果 x 是一个正无限超实数，则设 $\operatorname {st} (x)$ 为扩展实数中的 ∞；同样，如果 x 是一个负无限超实数，则设 $\operatorname {st} (x)$ 为 -∞。其原因是无限超实数应该比“真正”的绝对无限小，但比任何实数都更接近它。

微分

超实数系统的一个重要用途是其给予微分运算符 d 一个精确的含义，使其能像莱布尼兹那样直接的定义导数和积分。

对于任何实值函数 f，其微分 df 被定义为一个映射，将每个由一个实数和一个非零无限小组合而成的有序对 (x,dx) 映射到一个无限小：

$df(x,dx):=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)\ dx.$

需要注意的是，用来表示任何无限小的符号 dx 与上述运算符 d 的定义是一致的。其通常的解释是若将 x 视为函数 f(x)=x，那么对于每个 (x,dx)，其微分 d(x)(x,dx) 将等于无限小 dx。

如果在 x 点上，对所有非零无限小 dx，

${\frac {df(x,dx)}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)$

所得出的数值都相同，则这个商被称为函数 f 在点 x 的导数。

例如，要找到函数 f(x)=x² 的导数，让 dx 是一个非零无限小。然后有以下计算

${\frac {df(x,dx)}{dx}}$	$=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)$
	$=2x$

在计算微分的过程中，传统做法不严谨的直接忽略了无限小量的平方，与此相比，非标准分析中使用到的标准部分函数是一个良好的严格替代方法。值得注意的是，二元数是基于此思想的数字系统。在上述微分的第三行之后，从牛顿到 19 世纪的典型方法是简单地丢弃 dx² 项，但在超实数系统中，dx² 非零，其原因是 dx 非零，且“非零数之平方亦非零”适用转移原则。然而，dx² 的数值与 dx 相比是无限小的，也就是说，超实数系统包含了一系列的无限小量。

使用超实数进行微分可以更方便的进行代数操作。在标准微分中，偏微分和高阶微分不能通过代数技巧独立操作。然而，使用超实数，可以建立这样的系统，只是会使用稍微不同的表示法。

积分

超实数系统另一个关键用途是为莱布尼茨所用的积分符号 ∫ 赋予精确的含义。

对于任何微小函数 ε(x)，可以定义积分 $\int (\varepsilon )\$，它是一个函数，将一个满足下述条件的三元组 (a,b,dx) 映射到值

$\int _{a}^{b}(\varepsilon ,dx):=\operatorname {st} \left(\sum _{n=0}^{N}\varepsilon (a+n\ dx)\right),$

其中 a 和 b 是实数，且 dx 是与 b-a 同正负的微小量，而 N 是任何满足 $\operatorname {st} (N\ dx)=b-a$ 的超整数。

如果积分值

$\int _{a}^{b}(f\ dx,dx)$

与非零微小量 dx 的选择无关，则实值函数 f 被称为在闭区间 [a,b] 上可积分，此时，该积分被称为 f 在 [a,b] 上的定积分，或者反导数。

这表明使用超实数，莱布尼茨对定积分的表示式实际上可以解释为一个有意义的代数表达式，就像导数可以解释为一个有意义的商一样。

参考资料

• Ball, W.W. Rouse. A Short Account of the History of Mathematics 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908]. New York: Dover Publications. 1960: 50–62. ISBN 0-486-20630-0.