麦克斯韦方程组

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詹姆斯·麦克斯韦

麦克斯韦方程组[1]英语Maxwell's equations),是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场磁场电荷密度电流密度之间关系的偏微分方程。它由四个方程组成:描述电荷如何产生电场的高斯定律、论述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律、描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律

从麦克斯韦方程组,可以推论出光波电磁波。麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程经典电磁学的基础方程。从这些基础方程的相关理论,发展出现代的电力科技与电子科技。

麦克斯韦1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。他在1873年尝试用四元数来表达,但未成功。现在所使用的数学形式是奥利弗·亥维赛约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。

概论[编辑]

麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的[2]

  • 高斯定律描述电场是怎样由电荷生成。电场线开始于正电荷,终止于负电荷。计算穿过某给定闭曲面电场线数量,即其电通量,可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。更详细地说,这定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。
  • 高斯磁定律表明,磁单极子实际上并不存在于宇宙。所以,没有磁荷,磁场线没有初始点,也没有终止点。磁场线会形成循环或延伸至无穷远。换句话说,进入任何区域的磁场线,必需从那区域离开。以术语来说,通过任意闭曲面的磁通量等于零,或者,磁场是一个螺线矢量场
  • 法拉第感应定律描述含时磁场怎样生成(感应出)电场。电磁感应在这方面是许多发电机的运作原理。例如,一块旋转的条形磁铁会产生含时磁场,这又接下来会生成电场,使得邻近的闭循环因而感应出电流。
  • 麦克斯韦-安培定律阐明,磁场可以用两种方法生成:一种是靠电流(原本的安培定律),另一种是靠含时电场(麦克斯韦修正项)。在电磁学里,麦克斯韦修正项意味着含时电场可以生成磁场,而由于法拉第感应定律,含时磁场又可以生成电场。这样,两个方程在理论上允许自我维持的电磁波传播于空间(更详尽细节,请参阅条目电磁波方程)。

方程组汇览[编辑]

采用不同的单位制,麦克斯韦方程组的形式会稍微有所改变,大致形式仍旧相同,只是不同的常数会出现在方程内部不同位置。国际单位制是最常使用的单位制,整个工程学领域都采用这种单位制,大多数化学家也都使用这种单位制,大学物理教科书几乎都采用这种单位制[3]。其它常用的单位制有高斯单位制洛伦兹-亥维赛单位制Lorentz-Heaviside units)和普朗克单位制。由厘米-克-秒制衍生的高斯单位制,比较适合于教学用途,能够使得方程看起来更简单、更易懂[3]稍后会详细阐述高斯单位制。洛伦兹-亥维赛单位制也是衍生于厘米-克-秒制,主要用于粒子物理学[4];普朗克单位制是一种自然单位制,其单位都是根据大自然的性质定义,不是由人为设定。普朗克单位制是研究理论物理学非常有用的工具,能够给出很大的启示[5][6]。在本段落里,所有方程都采用国际单位制

这里展示出麦克斯韦方程组的两种等价表述。第一种表述将自由电荷束缚电荷总和为高斯定律所需要的总电荷,又将自由电流束缚电流电极化电流总合为麦克斯韦-安培定律内的总电流。这种表述采用比较基础、微观的观点。这种表述可以应用于计算在真空里有限源电荷与源电流所产生的电场与磁场。但是,对于物质内部超多的电子与原子核,实际而言,无法一一纳入计算。事实上,经典电磁学也不需要这么精确的答案。

第二种表述以自由电荷和自由电流为源头,而不直接计算出现于介电质的束缚电荷和出现于磁化物质的束缚电流和电极化电流所给出的贡献。由于在一般实际状况,能够直接控制的参数是自由电荷和自由电流,而束缚电荷、束缚电流和电极化电流是物质经过极化后产生的现象,采用这种表述会使得在介电质或磁化物质内各种物理计算更加简易[7]

麦克斯韦方程组似乎是超定的(overdetermined)方程组,它只有六个未知量(矢量电场、磁场各拥有三个未知量,电流与电荷不是未知量,而是自由设定并符合电荷守恒的物理量),但却有八个方程(两个高斯定律共有两个方程,法拉第定律与安培定律各有三个方程)。这状况与麦克斯韦方程组的某种有限重复性有关。从理论可以推导出,任何满足法拉第定律与安培定律的系统必定满足两个高斯定律。[8][9]

微观麦克斯韦方程组表格[编辑]

以总电荷和总电流为源头的表述
名称 微分形式 积分形式
高斯定律 \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0} \iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf E\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = \frac{Q}{\varepsilon_0}
高斯磁定律 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = 0
法拉第感应定律 \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= - \frac {\mathrm{d} \Phi_\mathbf{B}}{\mathrm{d} t}
麦克斯韦-安培定律 \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac {\mathrm{d} \Phi_\mathbf{E}}{\mathrm{d} t}

宏观麦克斯韦方程组表格[编辑]

以自由电荷和自由电流为源头的表述
名称 微分形式 积分形式
高斯定律 \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_f \iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf D\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = Q_{f}
高斯磁定律 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = 0
法拉第感应定律 \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = - \frac {\mathrm{d} \Phi_\mathbf{B}}{\mathrm{d} t}
麦克斯韦-安培定律 \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = I_{f} + \frac {\mathrm{d} \Phi_\mathbf{D}}{\mathrm{d} t}

麦克斯韦方程组术语符号表格[编辑]

以下表格给出每一个符号所代表的物理意义,和其单位:

物理意义和单位
符号 物理意义 国际单位
\mathbf{E} \ 电场 伏特/米,牛顿库仑
\mathbf{B} \ 磁感应强度 特斯拉韦伯/米2伏特·秒/米2
\mathbf{D} \ 电位移 库仑/米2,牛顿/伏特·米
\mathbf{H} \ 磁场强度 安培/米
\mathbf{\nabla \cdot} 散度算符 /米
\mathbf{\nabla \times} 旋度算符
\frac {\partial}{\partial t} 对于时间的偏导数 /秒
\mathbb{S} 曲面积分的运算曲面 2
\mathbb{L} 路径积分的运算路径
\mathrm{d}\mathbf{s} 微小面元素矢量 2
 \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} 微小线元素矢量
\varepsilon_0 \ 电常数 法拉/米
\mu_0 \ 磁常数 亨利/米,牛顿/安培2
\ \rho_f \ 自由电荷密度 库仑/米3
\ \rho \ 电荷密度 库仑/米3
Q_f 在闭曲面\mathbb{S}里面的自由电荷 库仑
Q 在闭曲面\mathbb{S}里面的总电荷 库仑
\mathbf{J}_f 自由电流密度 安培/米2
\mathbf{J} 电流密度 安培/米2
I_f 穿过闭路径\mathbb{L}所包围的曲面的自由电流 安培
I 穿过闭路径\mathbb{L}所包围的曲面的总电流 安培
\Phi_{B} 穿过闭路径\mathbb{L}所包围的曲面\mathbb{S}磁通量 特斯拉·米2,伏特·秒,韦伯
\Phi_{E} 穿过闭路径\mathbb{L}所包围的曲面\mathbb{S}电通量 焦耳·米/库仑
\Phi_{D} 穿过闭路径\mathbb{L}所包围的曲面\mathbb{S}的电位移通量 库仑

微观尺度与宏观尺度[编辑]

麦克斯韦方程组通常应用于各种场的“宏观平均”。当尺度缩小至微观microscopic scale),以至于接近单独原子大小的时侯,这些场的局部波动差异将变得无法忽略,量子现象也会开始出现。只有在宏观平均的前提下,物理量像物质的电容率磁导率才会得到有意义的定义值。

最重的原子核的半径大约为7飞米(7× 10−15米)。所以,在经典电磁学里,微观尺度指的是尺寸的数量级大于10−14米。满足微观尺度,电子和原子核可以视为点电荷,微观麦克斯韦方程组成立;否则,必需将原子核内部的电荷分布纳入考量。在微观尺度计算出来的电场与磁场仍旧变化相当剧烈,空间变化的距离数量级小于10−10米,时间变化的周期数量级在10−17至10−13秒之间。因此,从微观麦克斯韦方程组,必需经过经典平均运算,才能得到平滑、连续、缓慢变化的宏观电场与宏观磁场。宏观尺度的最低极限为10−8米。这意味着电磁波反射折射行为可以用宏观麦克斯韦方程组来描述。以这最低极限为边长,体积为10−24立方米的立方体大约含有106个原子核和电子。这么多原子核和电子的物理行为,经过经典平均运算,足以平缓任何剧烈的涨落。根据可靠文献记载,经典平均运算只需要在空间作平均运算,不需要在时间作平均运算,也不需要考虑到原子的量子效应[7]

经典平均运算是一种比较简单的平均程序,给定函数F(\mathbf{r}, t),这函数的空间平均定义为[7]

F(\mathbf{r}, t)=\int_{\mathbb{V}}w(\mathbf{r}')F(\mathbf{r}-\mathbf{r}', t)\ \mathrm{d}^3 r'

其中,\mathbb{V}是平均运算的空间,w(\mathbf{r}')权重函数

有很多种函数可以选为优良的权重函数w(\mathbf{r}'),例如,高斯函数

w(\mathbf{r})=\frac{1}{(\pi R^2)^{3/2}} e^{-r^2/R^2}

最早出现的麦克斯韦方程和其相关理论是为宏观物质设计的,是一种现象学。在那时候,物理学者并不清楚造成电磁现象的基本原因。后来,按照物质的粒子绘景,才推导出微观麦克斯韦方程。二十世纪前半期,在量子力学、相对论、与粒子物理学领域的突破与发展,其崭新理论与微观麦克斯韦方程组相结合,成为建立量子电动力学的关键基石。这是物理学中最准确的理论,所计算出的结果能够精确地符合实验数据[10]

证明两种表述等价[编辑]

前面所论述的麦克斯韦方程组的两种表述,在数学上是等价的。

历史[编辑]

虽然有些历史学家认为麦克斯韦并不是现代麦克斯韦方程组的原创者,在建立分子涡流模型的同时,麦克斯韦的确独自地推导出所有相关的方程。现代麦克斯韦方程组的四个方程,都可以在麦克斯韦的1861年论文《论物理力线》、1865年论文《电磁场的动力学理论》和于1873年发行的名著《电磁通论》的第二册,第四集,第九章"电磁场的一般方程"里,找到可辨认的形式,尽管没有任何矢量标记和梯度符号的蛛丝马迹。这本往后物理学生必读的教科书的发行日期,早于亥维赛、海因里希·赫兹等等的著作。

麦克斯韦方程组的演化[编辑]

麦克斯韦方程组这术语原本指的是麦克斯韦于1865年在论文《电磁场的动力学理论》提出的一组八个方程[11]。但是,现在常见的麦克斯韦方程组,乃是经过亥维赛于1884年编排修改而成的四个方程[12]。同时期,约西亚·吉布斯和赫兹分别都研究出类似的结果。有很久一段时间,这些方程被总称为赫兹-亥维赛方程组、麦克斯韦-赫兹方程组或麦克斯韦-亥维赛方程组[12] [13]

麦克斯韦写出的这些方程,对于电磁学的贡献,主要是在他1861年的论文《论物理力线》内,他将位移电流项目加入了安培定律,将安培定律修改成麦克斯韦-安培定律[14]。这添加的项目使他后来在论文《电磁场的动力学理论》中,能够推导出电磁波方程,在理论上证明了光波就是电磁波[11]

麦克斯韦认为位势变量(电势和磁矢势)是他的方程组的中心概念。对于这想法,亥维赛强烈地驳斥,认为位势属于形而上学的概念,只有电场和磁场才是最基础、最实际的物理量。他试着除去方程组内的位势变量。亥维赛努力研究的结果是一双对称的方程[12]

\mathbf{J}_H= \nabla\times \mathbf{H}
\mathbf{M} =  - \nabla\times \mathbf{E}

其中,\mathbf{J}_H是包括位移电流密度在内的总电流密度,\mathbf{H}是磁场强度,\mathbf{E}是电场,\mathbf{M}是总磁流密度。

总磁流密度\mathbf{M}定义为

\mathbf{M}\ \stackrel{def}{=}\  \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}+\mathbf{m}_c

其中,\mathbf{B}是磁场,\mathbf{m}_c是磁荷的运动所产生的磁流。

到现在为止,由于物理学家还没有找到任何磁粒子,\mathbf{m}_c可以设定为零。

论文《论法拉第力线》[编辑]

在那时期的电磁学可以形容为众多实验结果和数学分析的大杂烩,急需整合成一套内外一致,有条有理的学术理论。装备着剑桥大学物理系对于物理学生精心栽培的比拟能力,麦克斯韦试图创建一个能够描述各种电磁现象的模型。在他的1855年论文《论法拉第力线》里[15],麦克斯韦将法拉第想出的力线延伸为装满了不可压缩流体的“力管”。这力管的方向代表力场(电场磁场)的方向,力管的截面面积与力管内的流体速度成反比,而这流体速度可以比拟为电场或磁场。既然电场或磁场能够比拟为流体速度,当然可以要求电场或磁场遵守流体力学的部分理论。那么,借用流体力学的一些数学框架,即可推导出一系列初成形的电磁学雏论[16]

论文《论物理力线》[编辑]

分子涡流模型示意图:均匀磁场的磁力线从显示器往外指出,以黑色矢点表示。六角形分子的涡流方向呈反时针方向。绿色圆球代表圆粒,旋转方向呈顺时针方向

1861年,麦克斯韦在发表的一篇论文《论物理力线》里,提出了“分子涡流模型”[14]。由于法拉第效应显示出,在通过介质时,偏振光会因为外磁场的作用,转变偏振的方向,因此,麦克斯韦认为磁场是一种旋转现象[17]。在他设计的“分子涡流模型”里,他将力线延伸为“涡流管”。许多单独的“涡胞”(涡旋分子)组成了一条条的涡流管。在这涡胞内部,不可压缩流体绕着旋转轴以均匀角速度旋转。由于离心力作用,在涡胞内部的任意微小元素会感受到不同的压力。知道这压力的分布,就可以计算出微小元素感受到的作用力。透过分子涡流模型,麦克斯韦详细地分析与比拟这作用力内每一个项目的物理性质,合理地解释各种磁场现象和其伴随的作用力。

麦克斯韦对于分子涡流模型提出几点质疑。假设邻近两条磁力线的涡胞的旋转方向相同。假若这些涡胞之间会发生摩擦,则涡胞的旋转会越来越慢,终究会停止旋转;假若这些涡胞之间是平滑的,则涡胞会失去传播资讯的能力。为了要避免这些棘手的问题,麦克斯韦想出一个绝妙的点子:他假设在两个相邻涡胞之间,有一排微小圆珠,将这两个涡胞隔离分开。这些圆珠只能滚动rolling),不能滑动。圆珠旋转的方向相反于这两个涡胞的旋转方向,这样,就不会引起摩擦。圆珠的平移速度是两个涡胞的周边速度的平均值。这是一种运动关系,不是动力关系。麦克斯韦将这些圆珠的运动比拟为电流。从这模型,经过一番复杂的运算,麦克斯韦能够推导出安培定律法拉第感应定律等等。

麦克斯韦又给予这些涡胞一种弹性性质。假设施加某种外力于圆珠,则这些圆珠会转而施加切力于涡胞,使得涡胞变形。这代表了一种静电状态。假设外力与时间有关,则涡胞的变形也会与时间有关,因而形成了电流。这样,麦克斯韦可以比拟出电位移位移电流。不但是在介质内,甚至在真空(麦克斯韦认为没有完全的真空,乙太弥漫于整个宇宙),只要有磁力线,就有涡胞,位移电流就可以存在。因此,麦克斯韦将安培定律加以延伸,增加了一个有关于位移电流的项目,称为“麦克斯韦修正项”。聪明睿智的麦克斯韦很快地联想到,既然弹性物质会以波动形式传播能量于空间,那么,这弹性模型所比拟的电磁场应该也会以波动形式传播能量于空间。不但如此,电磁波还会产生反射折射等等波动行为。麦克斯韦计算出电磁波的传播速度,发觉这数值非常接近于,先前从天文学得到的,波传播行星际空间interplanetary space)的速度。因此,麦克斯韦断定光波就是一种电磁波。

现今常见的麦克斯韦方程组,在论文内出现了很多次:

  1. 在论文内,方程(56)是高斯磁定律
    \frac{d}{dx}(\mu\alpha)+\frac{d}{dy}(\mu\beta)+\frac{d}{dz}(\mu\gamma)=0 ;
    其中,\mu是涡胞的质量密度,对应于磁导率, \alpha \beta \gamma分别为涡胞的周边速度矢量的三个投影于x-轴、y-轴和z-轴的分量,对应于\mathbf{H}的三个分量。
  2. 方程(112)是麦克斯韦-安培定律:
    p=\frac{1}{4\pi}\left(\frac{d\gamma }{dy} - \frac{d\beta}{dz}- \frac{1}{E^2}\frac{dP}{dt}\right)
    q=\frac{1}{4\pi}\left(\frac{d\alpha }{dz} - \frac{d\gamma }{dx}- \frac{1}{E^2}\frac{dQ}{dt}\right)
    r=\frac{1}{4\pi}\left(\frac{d\beta }{dx} - \frac{d\alpha }{dy} - \frac{1}{E^2}\frac{dR}{dt}\right)
    其中,pqr分别为每秒钟通过单位面积的圆粒数量矢量的三个分量,分别对应于电流密度\mathbf{J}的三个分量,PQR分别为在涡胞之间的圆粒所感受到的作用力的三个分量,分别对应于电场\mathbf{E}的三个分量。
    这方程右边第三个项目是包括了位移电流的麦克斯韦修正项。后来,他在1865年的论文《电磁场的动力学理论》中,延续先前的点子,推导出电磁波方程,在理论上证明了光波是电磁波。很有趣地是,完全没有使用到位移电流的概念,古斯塔夫·基尔霍夫就能够于1857年推导出电报方程telegraph equations)。但是,他使用的是泊松方程电荷连续方程。位移电流的数学要素就是这两个方程。可是,基尔霍夫认为他的方程只适用于导线内部。因此,他始终没有发觉光波就是电磁波的事实。
  3. 方程(115)是高斯定律:
    e=\frac{1}{4\pi E^2}\left(\frac{dP}{dx} +\frac{dQ}{dy} +\frac{dR}{dz}\right) ;
    其中,e是单位体积的圆粒数量,对应于电荷密度\rhoE是涡胞的弹性常数,对应于电容率\epsilon平方根倒数
  4. 方程(54)是
    \frac{dQ}{dz} - \frac{dR}{dy}=\mu\frac{d\alpha}{dt}
    \frac{dR}{dx} - \frac{dP}{dz}=\mu\frac{d\beta}{dt}
    \frac{dP}{dy} - \frac{dQ}{dx}=\mu\frac{d\gamma}{dt}
    方程(77)是
    P=\mu\gamma\frac{dy}{dt} - \mu\beta\frac{dz}{dt}+ \frac{dF}{dt} - \frac{d\Psi}{dx}
    Q=\mu\alpha\frac{dz}{dt} - \mu\gamma\frac{dx}{dt}+ \frac{dG}{dt} - \frac{d\Psi}{dy}
    R=\mu\beta\frac{dx}{dt} - \mu\alpha\frac{dy}{dt}+ \frac{dH}{dt} - \frac{d\Psi}{dz}
    其中,FGH分别为在涡胞之间的圆粒的动量的三个分量,分别对应于磁矢势\mathbf{A}的三个分量,\Psi是圆粒与圆粒相互作用于对方的压力,对应于电势\phi
    方程(54)是亥维赛指为法拉第感应定律的方程。法拉第的原本的通量定律将含时方面和运动方面的问题合并在一起处理。麦克斯韦用方程(54)来专门处理电磁感应涉及的含时方面的问题,用方程(77)来处理电磁感应涉及的运动方面的问题。稍后列出的原本的八个麦克斯韦方程之中的方程(D)就是方程(77),对应于现在的洛伦兹力定律。当亨德里克·洛伦兹还是年轻小伙子的时候,麦克斯韦就已经推导出这方程了。

论文《电磁场的动力学理论》[编辑]

于1864年,麦克斯韦发表了论文《电磁场的动力学理论》[11]。这篇论文的第三节的标题为电磁场一般方程,在这节里,麦克斯韦写出了二十个未知量的二十个方程;其中,有十八个方程可以用六个矢量方程集中表示(对应于每一个直角坐标轴,有一个方程),另外两个是标量方程。所以,以现代矢量标记,麦克斯韦方程组可以表示为八个方程,分别为

(A)总电流定律
\mathbf{J}_{tot} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
(B)磁场方程
\mu \mathbf{H} = \nabla \times \mathbf{A}
(C)安培环流定律
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{tot}
(D)洛伦兹力方程
\mathbf{E} = \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla \phi
(E)电弹性方程
\mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon} \mathbf{D}
(F)欧姆定律
\mathbf{E} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{J}
(G)高斯定律
\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho
(H)连续方程
\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}

在这篇论文里,麦克斯韦推导出光波是一种电磁现象。在他的导引里,他并没有用法拉第感应定律,而是用方程(D)来解释电磁感应作用。现代教科书大多是用法拉第感应定律来解释电磁感应作用。事实上,他的八个方程里,并没有包括法拉第感应方程在内。

教科书《电磁通论》[编辑]

发行于1873年,麦克斯韦亲自著作的《电磁通论》是一本电磁学教科书。在这本书内,方程被收集成两组。第一组是

\mathbf{E} = - \nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}
\mathbf{B} =  \nabla \times \mathbf{A}

其中,\phi 电势\mathbf{A}磁矢势

第二组是

\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho
\nabla \times \mathbf{H} - \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = \mathbf{J}

从第一组的两个方程,分别取旋度散度,则可得到法拉第感应定律和高斯磁定律的方程:

\nabla\times\mathbf{E} = -\nabla\times \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = -  \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
\nabla\cdot \mathbf{B} =0

宏观麦克斯韦方程组[编辑]

束缚电荷和束缚电流[编辑]

左半图:一群微观的电偶极子的共同作用,就好像以宏观距离分开,分别位于图上方和图下方的一对带电薄面的有效作用(请注意,这些带电表面所生成的电场,并不是原本造成电偶极子排列的电场,而是等价于这电偶极子排列的宏观表现出的电场)。右半图:一群微观的电流回路的共同作用,就好像一个宏观的电流回路的有效作用。假设电流回路均匀分布,则所有位于内部的电流回路的贡献都会互相抵销;但是,位于边界的电流回路不会全部地抵销,因而形成宏观的电流回路。

假设,施加外电场于介电质,响应这动作,介电质的分子会形成一个微观的电偶极子,显示出伴随的电偶极矩。分子的原子核会朝着电场的方向稍微迁移位置,而电子则会朝着相反方向稍微迁移位置。这形成了介电质的电极化。如右图的理想状况所示,虽然,所有涉及的电荷都仍旧束缚于其原本的分子,由于这些微小迁移所造成的电荷分布,变得好像是在介电质的一边形成了一薄层正表面电荷,在另一边又形成了一薄层负表面电荷。电极化强度定义为介电质内部的的电偶极矩密度,也就是单位体积的电偶极矩。在介电质内部,假设电极化强度\mathbf{P}是均匀的,则宏观的面束缚电荷只会出现于介电质表面,\mathbf{P}进入或离开介电质之处;否则,假设\mathbf{P}是不均匀的,则介电质内部也会出现束缚电荷[18]

静电学有些类似,在静磁学里,假设施加外磁场于物质,响应这动作,物质会被磁化,组成的原子会显示出磁矩。在本质上,这磁矩与原子的各个亚原子粒子角动量有关,其中,响应最显著的是电子。这角动量的连结,不禁令人联想到一副图画,在图画中,磁化物质变成了一群微观的束缚电流回路。虽然每一个电荷只是移动于其原子的微观回路,一群微观的束缚电流回路聚集在一起会形成宏观的面束缚电流循环流动于物质的表面。这些束缚电流可以用磁化强度来描述。磁化强度定义为磁偶极矩在一个磁化物质内的密度,也就是单位体积的磁偶极矩[19]

对于许多案例,原子行为和电子行为的微观细节,可以使用较简易的方法来处理。这样,很多精密尺度的细节,对于研究物质的宏观行为并不重要,因此可以被忽略。这解释了为什么要区分出束缚与自由的物理行为。

这些非常复杂与粗糙的束缚电荷与束缚电流的物理行为,在宏观尺度,可以分别以电极化强度与磁化强度来表达。电极化强度与磁化强度分别将这些束缚电荷与束缚电流以恰当的尺度做空间平均,这样,可以除去单独整体原子形成的凹凸粗糙结构,但又能够显示出强度随着位置而变化的物理性质。由于所有涉及的矢量场都已做过恰当体积的空间平均,宏观麦克斯韦方程组忽略了微观尺度的许多细节,对于了解物质的宏观尺度性质,这些细节可能不具什么重要性。

本构关系[编辑]

为了要应用宏观麦克斯韦方程组,必须分别找到\mathbf{D}场与\mathbf{E}场之间,和\mathbf{H}场与\mathbf{B}场之间的关系。这些称为本构关系constitutive relations)的物理性质,设定了束缚电荷和束缚电流对于外场的响应。它们实际地对应于,一个物质响应外场作用而产生的电极化磁化

本构关系式的基础建立于\mathbf{D}场与\mathbf{H}场的定义式:

\mathbf{D}(\mathbf{r}, t)\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{P}(\mathbf{r}, t)
\mathbf{H}(\mathbf{r}, t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) - \mathbf{M}(\mathbf{r}, t)

其中,\mathbf{P}是电极化强度,\mathbf{M}是磁化强度。

在解释怎样计算电极化强度与磁化强度之前,最好先检视一些特别案例。

自由空间案例[编辑]

假设,在自由空间(即理想真空)里,就不用考虑介电质和磁化物质,本构关系式变得很简单:

\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E}
\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0

将这些本构关系式代入宏观麦克斯韦方程组,则得到的方程组很像微观麦克斯韦方程组,当然,在得到的高斯定律方程和麦克斯韦-安培方程内,总电荷密度和总电流密度分别被自由电荷密度和自由电流密度替代。这符合期待的结果,因为,在自由空间里,没有束缚电荷、束缚电流和电极化电流。

线性物质案例[编辑]

对于线性各向同性物质,本构关系式也很直接:

\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}
\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu

其中,\varepsilon是物质的电容率\mu是物质的磁导率

将这些本构关系式代入宏观麦克斯韦方程组,可以得到方程组

对于线性、各向同性物质的表述
名称 微分形式 积分形式
高斯定律 \nabla \cdot(\varepsilon \mathbf{E}) =\rho_f \iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset(\varepsilon \mathbf{E})\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = Q_f
高斯磁定律 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = 0
法拉第感应定律 \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= - \frac {\mathrm{d} \Phi_{\mathbf{B}}}{\mathrm{d} t}
麦克斯韦-安培定律 \nabla \times (\mathbf{B}/\mu) = \mathbf{J}_f + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \oint_{\mathbb{L}}\ (\mathbf{B}/\mu) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= I_f + \frac {\mathrm{d} \Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}}{\mathrm{d} t}

除非这物质是均匀物质,不能从微分式或积分式内提出电容率和磁导率。通量\Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}的方程为

\Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}=\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\varepsilon\mathbf{E} \cdot\mathrm{d}\mathbf{s}

这方程组很像微观麦克斯韦方程组,当然,在得到的高斯定律方程和麦克斯韦-安培方程内,自由空间的电容率和磁导率分别被物质的电容率和磁导率替代;还有,总电荷密度和总电流密度分别被自由电荷密度和自由电流密度替代。这符合期待的结果,因为,在均匀物质内部,没有束缚电荷、束缚电流和电极化电流,虽然由于不连续性,可能在表面会有面束缚电荷、面束缚电流或面电极化电流。

一般案例[编辑]

对于实际物质,本构关系并不是简单的线性关系,而是只能近似为简单的线性关系。从\mathbf{D}场与\mathbf{H}场的定义式开始,要找到本构关系式,必需先知道电极化强度和磁化强度是怎样从电场和磁场产生的。这可能是由实验得到(建立于直接测量),或由推论得到(建立于统计力学传输力学transport phenomena)或其它凝聚态物理学的理论)。所涉及的细节可能是宏观或微观的。这都要视问题的层级而定。

虽然如此,本构关系式通常仍旧可以写为

\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}
\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu

不同的是,\varepsilon\mu不再是简单常数,而是函数。例如,

D_i = \sum_j \epsilon_{ij} E_j
B_i = \sum_j \mu_{ij} H_j
\mathbf{D}=\epsilon  \mathbf{E}+\xi  \mathbf{H}
\mathbf{B}= \mu  \mathbf{H} + \zeta  \mathbf{E}
其中,\xi\zeta是耦合常数,每一种介质的内禀常数。
在双耦合各向异性物质里,\mathbf{D}场与\mathbf{H}场分别各向异性地耦合于\mathbf{E}场与\mathbf{B}场,系数\epsilon\mu\xi\zeta都是张量
  • 在不同位置和时间,\mathbf{P}场与\mathbf{M}场分别跟\mathbf{E}场、\mathbf{B}场有关:这可能是因为“空间不匀性”。例如,一个磁铁的域结构异质结构液晶,或最常出现的状况是多种材料占有不同空间区域。这也可能是因为随时间而改变的物质或磁滞现象。对于这种状况,\mathbf{P}场与\mathbf{M}场计算为[23][24]
\mathbf{P}(\mathbf{r}, t) = \varepsilon_0 \int d^3 \mathbf{r}' d t'\;
\chi_{\mathrm{e}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{E})\, \mathbf{E}(\mathbf{r}', t')
\mathbf{M}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{\mu_0} \int d^3 \mathbf{r}' d t' \;
\chi_{\mathrm{m}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{B})\, \mathbf{B}(\mathbf{r}', t')
其中,\chi_{\mathrm{e}}电极化率\chi_{\mathrm{m}}磁化率

实际而言,在某些特别状况,一些物质性质给出的影响微乎其微,这允许物理学者的忽略。例如,在低场强度状况,光学非线性性质可以被忽略;当频率局限于狭窄带宽内时,色散不重要;对于能够穿透物质的波长,物质吸收可已被忽略;对于微波或更长波长的电磁波,有限电导率金属时常近似为具有无穷大电导率的完美金属perfect metal),形成电磁场穿透的趋肤深度为零的硬障碍。

随着材料科学的进步,材料专家可以设计出具有特定的电容率或磁导率的新材料,像光子晶体

本构关系的演算[编辑]

通常而言,感受到局域场施加的洛伦兹力,介质的分子会有所响应,从相关的理论计算,可以得到这介质的本构关系式。除了洛伦兹力以外,可能还需要给出其它作用力的理论模型,像涉及晶体内部晶格振动的键作用力,将这些作用力纳入考量,一并计算。

在介质内部任意分子的位置\mathbf{r},其邻近分子会被电极化和磁化,从而造成其局域场会与外场或宏观场不同。更详尽细节,请参阅克劳修斯-莫索提方程。真实介质不是连续性物质,其局域场在原子尺度的变化相当剧烈,必需经过空间平均,才能形成连续近似。

这连续近似问题时常需要某种量子力学分析,像应用于凝聚态物理学量子场论。请参阅密度泛函理论格林-库波关系式Green–Kubo relations)等等案例。物理学者研究出许多近似传输方程,例如,玻尔兹曼传输方程Boltzmann transport equation)、佛克耳-普朗克方程Fokker–Planck equation)和纳维-斯托克斯方程。这些方程已经广泛地应用于流体动力学磁流体力学超导现象等离子模型plasma modeling)等等学术领域。一整套处理这些艰难问题的物理工具已被成功地发展出来。另外,从处理像砾岩conglomerate)或叠层材料laminate)一类物质的传统方法演变出来的“均质化方法”,是建立于以“均质有效介质”来近似“非均质介质”的方法[25]。当激发波长超大于非均质性的尺度时,这方法正确无误[26][27][28]

理论得到的答案必须符合实验测量的数据。许多真实物质的连续近似性质,是靠着实验测量而得到的[29]。例如,应用椭圆偏振技术得到的薄膜的介电性质。

自由空间[编辑]

自由空间里,不需要考虑介电质或磁化物质的问题。假设源电流和源电荷为零,则麦克斯韦方程组变为[注 1]

\nabla \cdot \mathbf{E} = 0
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\nabla \times \mathbf{E} =  -\ \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

对于这方程组,平面行进正弦波是一组解。这解答波的电场和磁场相互垂直,并且分别垂直于平面波行进的方向。电场与磁场同相位地以光速c传播[注 2]

c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}

仔细地观察麦克斯韦方程组,就可以发现这方程组很明确地解释了电磁波怎样传播于空间。根据法拉第感应定律,时变磁场会生成电场;根据麦克斯韦-安培定律,时变电场又生成了磁场。这不停的循环使得电磁波能够以光速传播于空间。

1856年,威廉·韦伯鲁道夫·科尔劳施Rudolf Kohlrausch),从他们的莱顿瓶实验,计算出c的数值,发觉这数值非常接近于,先前从天文学得到的,光波传播于行星际空间的速度[30]。从这实验结果,麦克斯韦正确地断定光波就是一种电磁辐射

磁单极子[编辑]

麦克斯韦方程组将电场、磁场与电荷的运动相连结。在方程组中,他有给电荷安排位置,但并没有给磁荷(磁单极子)安排位置。在粒子物理学里,并没有类比于电子的磁粒子。虽然如此,包括磁荷与磁流在内的麦克斯韦方程组是一门很热门的理论研究题目[31]。根据最新实验结果,科学家发现,有一种称为自旋冰spin ice)的晶态物质,其宏观物理行为很像磁单极子的物理行为[32]。请注意,这发现并没有违背磁荷从未被观察到和可能不存在的事实。除了磁荷这例外,麦克斯韦方程组拥有对称的形式。实际而言,当所有电荷等于零时,可以写出对称的方程组。请参阅前面的自由空间段落。

假设允许磁荷存在的可能,则也可以写出完全对称的方程组。麦克斯韦方程组内会增添两个新的变量,磁荷\rho_m和磁流\mathbf{J}_m。采用厘米-克-秒制,延伸的麦克斯韦方程组表示为

麦克斯韦方程组(厘米-克-秒制)
名称 磁单极子不存在 磁单极子存在
高斯定律 \nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho_e \nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho_e
高斯磁定律 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \nabla \cdot \mathbf{B} = 4 \pi \rho_m
法拉第感应定律 -\nabla \times \mathbf{E} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} -\nabla \times \mathbf{E} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} +  \frac{4 \pi}{c}\mathbf{j}_m
麦克斯韦-安培定律    \nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} + \frac{4 \pi}{c} \mathbf{j}_e    \nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} + \frac{4 \pi}{c} \mathbf{j}_e
请注意,删除因子c,即可得到无单位的形式。

假若,磁荷不存在,或者假若它们不存在于某一个区域,则新增添的两个变量\rho_m\mathbf{J}_m都等于零,对称的方程组约化为一般形式的麦克斯韦方程组。

边界条件[编辑]

就像其它微分方程组,假若没有合适的边界条件[33]初始条件[34],则无法给出麦克斯韦方程组的唯一解答。

特别而言,在一个不含有任何自由电荷和自由电流的区域\mathbb{R}内的电磁场,必定是来自于其它区域。当解析这状况时,通过适当的边界条件或初始条件,可以将电磁场引进这区域\mathbb{R}。举一个电磁波散射的例子,一个来自于散射区域之外的电磁波,遭遇到散射区域内的一个靶子,被这靶子散射出去。在这散射过程里,由于电磁波与靶子之间相互作用,散射的电磁波含有很多与这靶子性质相关的资料。经过仔细地分析,将这些资料萃取出来,就可以更详细地了解这靶子的性质[35]

对于某些案例,譬如波导或空腔共振器resonator),因为像金属墙壁一类的隔离设施,解答区域大部份孤立于外部世界。在金属墙壁位置的边界条件决定了解答区域的电磁场。在解答区域以外的外部世界,只能靠着边界条件来影响内部的状况[36]。对于另外一些案例,像光导纤维薄膜,解答区域时常会被分割为几个亚区域,每个亚区域都有其简单独自的性质。通过亚区域与亚区域之间界面的边界条件,可以将每一个亚区域的解答连结起来[37]

应用边界条件,有时也可以简化问题,使得问题更容易被了解。例如,均匀物体的电极化可以被更换为在这物体外表的一层面电荷分布[18],或者,均匀物体的磁化被更换为在这物体外表的一层面电流分布[38]。详尽细节,请参阅束缚电荷和束缚电流段落。

以下列出一些重要的边界条件:斯徒姆-刘维边界条件Sturm-Liouville boundary condition)、狄利克雷边界条件诺伊曼边界条件混合边界条件mixed boundary condition)、柯西边界条件Cauchy boundary condition)、索末菲辐射条件Sommerfeld radiation condition)。在解析问题时,必须选择适当的边界条件,才可得到正确的答案[39]

高斯单位制[编辑]

厘米-克-秒单位制的三个基本单位是长度单位厘米、质量单位克、时间单位秒。在经典力学里,厘米-克-秒单位制的单位是一致的;但在电磁学里,则出现了几种变型。高斯单位制是其中一种变形。在高斯单位制里,麦克斯韦方程组的形式为[3]

 \nabla \cdot \mathbf{D} = 4\pi\rho_f
 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0
 \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
 \nabla \times \mathbf{H} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} + \frac{4\pi}{c} \mathbf{J}_f

自由空间里,假设不存在任何电荷和电流,则方程组简化为

\nabla \cdot \mathbf{E} = 0
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

采用这单位制,电位移、电场和电极化强度的关系式为

 \mathbf{D} = \mathbf{E} + 4\pi\mathbf{P}

B场、H场和磁化强度的关系式为

\mathbf{B} = \mathbf{H} + 4\pi\mathbf{M}

对于线性物质,电极化率 \chi_e磁化率\chi_m分别定义为

\mathbf{P}\ \stackrel{def}{=}\ \chi_e \mathbf{E}
\mathbf{M}\ \stackrel{def}{=}\ \chi_m \mathbf{H}

电容率\epsilon和磁导率\mu分别为

\epsilon = 1+4\pi\chi_e
\mu = 1+4\pi\chi_m

所以,电位移和B场分别为

\mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E}
\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}

在自由空间里,方程组变得相当简单:

\epsilon=\mu=1
\mathbf{D}=\mathbf{E}
\mathbf{B}= \mathbf{H}

根据洛伦兹力定律,一个以速度\mathbf{v}移动于电场和磁场的带电粒子q,所感受到的洛伦兹力\mathbf{F}

\mathbf{F} = q \left(\mathbf{E} + \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B}\right)

这形式与先前国际单位制的形式稍微有点不同。特别注意,电位移、电场和电极化强度、B场、H场和磁化强度的单位相同。

关于怎样正确地从一个单位制变换到另外一个单位制,请参阅高斯单位制

进阶表述[编辑]

麦克斯韦方程组的协变形式[编辑]

麦克斯韦方程组与狭义相对论之间的关系密切。不只是因为麦克斯韦方程组对于狭义相对论的初始发展,做了相当大的贡献,也因为狭义相对论激荡出一种更简洁的表述,能以协变张量来表达麦克斯韦方程组。

自由空间的麦克斯韦方程组的形式,对于任意惯性坐标系,都是一样的。在狭义相对论里,为了要更明确地表达出这论点,必须以四维矢量张量写出协变形式的麦克斯韦方程组。这表述的一个构成要素为电磁张量。这张量是一个结合了电场和磁场在一起的二阶反对称协变张量F_{\alpha \beta}[40]

F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix}
0 &  {E_x}/{c} & {E_y}/{c} &  {E_z}/{c} \\
{-E_x}/{c} & 0 & -B_z &  B_y \\
{-E_y}/{c}  &  B_z & 0 & -B_x \\
{-E_z}/{c} & -B_y &  B_x & 0 \\
\end{matrix} \right)

使用闵可夫斯基度规\eta

\eta^{\alpha \beta} = diag(  1,-1,-1,-1)=\left( \begin{matrix}
1 &  0 &  0 &  0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0  & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{matrix} \right)

将下标拉高为上标,可以得到反变张量F^{\mu \nu}

F^{\mu \nu} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, \eta^{\alpha\mu} \, \eta^{\beta \nu} \, F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix}
0 &  -{E_x}/{c} & -{E_y}/{c} &  -{E_z}/{c} \\
{ E_x}/{c} & 0 & -B_z &  B_y \\
{ E_y}/{c}  &  B_z & 0 & -B_x \\
{ E_z}/{c} & -B_y & B_x & 0
\end{matrix} \right)

给予一个n阶反对称协变张量F_{i_1 i_2 \dots i_n},则其m对偶张量dual tensorG^{j_1 j_2 \dots j_m},\quad m<n是一个反对称反变张量:

G^{j_1 j_2 \dots j_m}=\frac{1}{n!}\ \epsilon^{j_1 j_2 \dots j_m\  i_1 i_2 \dots i_n }\ F_{i_1 i_2 \dots i_n}

其中,\epsilon^{j_1 j_2 \dots j_m\  i_1 i_2 \dots i_n }m+n列维-奇维塔符号

根据这定义,F_{\alpha \beta}的二阶对偶张量G^{\mu \nu}[41]

G^{\mu \nu} =  \left(\begin{matrix}
0 & -B_x & -B_y & -B_z \\
B_x & 0 & {E_z}/{c} & -{E_y}/{c} \\
B_y & -{E_z}/{c} & 0 & {E_x}/{c} \\
B_z & {E_y}/{c} & -{E_x}/{c} & 0
\end{matrix}\right)

换一种方法,将F^{\alpha \beta}的项目做以下替换:{\mathbf E}/{c} \to \mathbf B\mathbf B \to - \ {\mathbf E}/{c},也可以得到二阶对偶张量G^{\mu \nu}

另外一个要素是四维电流密度J^{\alpha}

J^{\alpha} = (c\rho,\mathbf{J})

其中,\rho是电荷密度,\mathbf{J}是电流密度。

借着这些要素,采用爱因斯坦求和约定,麦克斯韦方程组可以写为[41]

\frac{\partial F^{\beta\alpha}}{\partial x^{\alpha}}=\mu_{0}J^{\beta}
\frac{\partial G^{\beta\alpha}}{\partial x^{\alpha}}=0 ;

其中,  \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right)四维梯度Four-gradient)。

这两个张量方程等价于麦克斯韦方程组。第一个张量方程表达两个非齐次麦克斯韦方程,高斯定律和麦克斯韦-安培定律。第二个张量方程表达两个齐次麦克斯韦方程,高斯磁定律和法拉第感应定律。

势场表述[编辑]

在高等经典力学里,采用势场表述,以电势磁矢势来表达麦克斯韦方程组,有时候可能对解析问题很有助益。在量子力学里,这是必需手段。电势\phi与磁矢势\mathbf{A}分别如此定义:

\mathbf{E} = - \nabla \phi -\ \frac{\partial \mathbf {A}}{\partial t}
\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

从这两个定义式,两个齐次麦克斯韦方程自动成立,另外两个非齐次方程变为

\nabla^2 \phi + \frac{\partial}{\partial t} \left (\nabla \cdot \mathbf{A} \right ) = -\ \frac{\rho}{\varepsilon_0}
\left ( \nabla^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} \right ) - \nabla \left (  \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf{J}

这两个势场方程组合起来,具有与原本麦克斯韦方程组同样的功能和完备性。由于电场和磁场各有三个分量,原本的麦克斯韦方程组需要解析六个分量。势场表述只需要解析四个分量,因为电势只有一个分量,磁矢势有三个分量。可是,势场表述涉及了二次微分,方程也比较冗长。

许多不同的\phi\mathbf{A}数值组可以得到同样的电场与磁场。因此,这些数值组相互物理等价,可以自由选择。这性质称为规范自由。恰当的选择可以简化方程的形式,或者,可以专门适用于某特别状况。

协变形式[编辑]

采用洛伦茨规范,势场的两个矢量方程可以约化为单独一个具有洛伦兹不变性的四维矢量方程。四维电流密度乃是由电流密度\mathbf{j}和电荷密度 \rho共同组成,以方程定义为

 j^\mu = \left( \rho c, \mathbf{j} \right)

四维势乃是由磁矢势和电势共同组成,以方程定义为

 A^\mu = \left( \varphi/c ,  \mathbf{A}\right)

十九世纪初,阿诺·索末菲提出了四维矢量方程,这是波恩哈德·黎曼先前想出的一个方程的推广,因此,知名为“黎曼-索莫菲方程”[42],或麦克斯韦方程的势场表述的协变形式[43]

\Box A^\mu = \mu_0 j^\mu

其中,\Box=\partial^2=\partial_\alpha\partial^\alpha=\left( \frac{1}{c^2}\ \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right) 达朗白算符,又称为“四维拉普拉斯算符”。

弯曲时空[编辑]

物质和能量会造成时空弯曲。这是广义相对论的主题。时空弯曲会影响电动力学的物理。一个电磁场所拥有的能量和动量也会造成时空弯曲。将平直时空的方程组中的偏导数,替换为协变导数,就可以得到弯曲时空中的麦克斯韦方程组。采用高斯单位制,麦克斯韦方程组表达为

\partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} + {\Gamma^{\alpha}}_{\mu\alpha} F^{\mu\beta} + {\Gamma^{\beta}}_{\mu\alpha} F^{\alpha \mu}= { 4 \pi \over c   }j^{\beta}
\partial_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \partial_{\beta} F_{\gamma\alpha} + \partial_{\alpha} F_{\beta\gamma} =0

其中,{\Gamma^{\alpha}}_{\mu\beta}是表征时空弯曲的克里斯托费尔符号

参阅[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ 术语“真空”时常用于这案例。但是,请注意,在这里,自由空间指的是一种理想的,实际不可能体现的参考状态,迥然不同于任何可以实际体现的真空,像实验室内制造的超高真空Ultra high vacuum)或外太空,或任何从理论方面体现的真空,像量子真空quantum vacuum)或量子色动力真空QCD vacuum)。
  2. ^ 国际标准化组织建议使用c_0为自由空间光速的国际标准标记ISO 31-5)。参阅美国国家标准与科技学院NIST)的特刊国际单位制

参考文献[编辑]

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进阶阅读[编辑]