乌雷松度量化定理

乌雷松度量化定理给出了一个拓扑空间可度量化的充分条件。一个拓扑空间 $(X,\tau )$ 上，若能定义一个度量 $d\colon X\times X\to [0,\infty )$ 使得拓扑 $\tau$ 由 d 诱导产生，就称为可度量化。^[1]^[2]

内容[编辑]

定理断言如果一个拓扑空间X是正则的，且有一组可数基（即第二可数），那么X是可度量化的。例如，由定理能推论出，每个第二可数的流形都可度量化。

历史上，安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫在 1926 年证明了该定理。1925 年，乌雷松在死后才发表的论文中，只证明了每个第二可数的正规豪斯多夫空间都可度量化。

然而，注意定理给出的是充分条件，这意味着可度量化空间的基不一定可数，例如具有离散拓扑的实轴R，它的拓扑必然包括R上所有的单点集，而单点集必定都是所给拓扑基的基元素，并以单点集形式出现，而这些单点集显然是不可数的。所以具有离散拓扑的实轴R尽管是可度量化的，但它却没有一组可数基。

利用X是正则的且有一组可数基的假定就可以证明，X能嵌入一个度量空间之中。因此，X与一个度量空间的子空间同胚。由于一个度量空间的子空间是可度量化的，又由于可度量性是一种拓扑性质，于是得出：X是可度量化的。

Z上的等差数列拓扑由所有形如 A_a,b={...,a-2b,a-b,a,a+b,a+2b,...} 的等差数列所组成的基来定义，其中a,b∈R.b≠0。

诱导Z上的度量

d(x,y)={\begin{cases}0\left({\text{若 }}\ x=y\right)\\\min \left\{{\frac {1}{n!}}\left\vert {\frac {n!}{\left\vert x-y\right\vert }}\right.\right\}\left({\text{若 }}\ x\neq y\right)\end{cases}}

某些度量化定理是乌雷松定理的简单推论，例如，紧的豪斯多夫空间可度量化当且仅当其为第二可数。

乌雷松定理也可写成以下形式：“一个拓扑空间为可分和可度量化，当且仅当其为正则、豪斯多夫，且为第二可数。”长田-斯米尔诺夫度量化定理（英语：Nagata–Smirnov metrization theorem）是对不可分空间的推广。其断言一个拓扑空间可度量化，当且仅当其为正则、豪斯多夫，且具有一组 σ-局部有限基。一组 σ-局部有限基是一组基，其为可数多个局部有限（英语：locally finite collection）开集族的并。相关的还有宾度量化定理（英语：Bing metrization theorem）。

若一个拓扑空间中，每点都有一个邻域可度量化，则称为局部可度量化。斯米尔诺夫证明了一个局部可度量化空间为可度量化当且仅当其为豪斯多夫及仿紧。具体地，一个流形可度量化，当且仅当其为仿紧。

^ Simon, Jonathan. Metrization Theorems (PDF). [16 June 2016]. （原始内容 (PDF)存档于2017-02-02）.
^ Munkres, James. Topology (second edition). Pearson. 1999: 119.

（美）亚当斯（Adams, C.）等著；沈以淡等译.《拓扑学基础及应用》. 北京：机械工业出版社，2010-02. ISBN 978-7-111-28809-1.