交流电功率

在电路中，瞬时功率（instantaneous power）是能量流过电路给定点的时间变率（time rate）。在交流电路中，瞬时功率则是在一个完整周期的交流波形取能量对时间变率的平均。

交流电功率（AC power，与“交流电源”之英语相同）是电能在交流电路中流动的速率。由于在交流电路或交流电系统中，电感器和电容器之类的储能元件（或负载）可能导致能量流动方向的周期反转，因此定义交流电功率的瞬时功率中，可导致能量在某特定方向上净转移的部分（净流动率）称为 瞬时有功功率；瞬时有功功率的时间均值（time average），称为 有功功率（active power）或 实功率（real power）；而交流电功率的瞬时功率中，无法导致能量在特定方向上的净转移的部分称为 瞬时无功功率；瞬时无功功率的时间均值，称为 无功功率（reactive power）或 虚功率（fictitious power），其成因为储存的能量在每个周期中振荡往返于储能元件（或负载）与电源间；瞬时无功功率的幅值是无功功率的绝对值^[1]^[2]。

定义[编辑]

对一个线性负载而言，电路中电压与电流都是遵循相同规律变化的，例如都按照正弦波变化。如果负载是纯电阻的话，电路中电压与电流会在相同的时间改变各自的极性，电压与电流的乘积永远都是大于或等于0的，表示能量的流动方向不会逆转。此时电路上只有实际功率流动。

而如果负载是纯电容或纯电感的话，电路中的电流与电压会出现90度的相位差。这样一来，在交流电的每个周期内，半个周期中电流与电压乘积为正，而另半个周期中电流与电压乘积为负，而且二者相加正好为0，表示每个周期内流向负载的电能全部被返还到电源中，整体上电路没有消耗电能，电路上只有无功功率流动。

在实际生活中，负载通常会同时有电阻性、电容性和电感性，因此电路上会同时有无功功率和实际功率。电力工程师将无功功率和实际功率的向量和的模作为视在功率。视在功率的定义为电压的均方根乘以电流的均方根。虽然无功功率不传递能量，但是对维持输电系统稳定性有重要作用。供应端及负载端的有功功率必须相等，无功功率亦必须相等，系统才可正常运作。同步发电机可以输出有功及无功功率，透过控制励磁系统可以改变无功功率的输出大小。

尽管无功功率在负载上不做功，但是对于一个实际系统来说，电流流过导线时，会使导线发热，部分电能因此会损失掉，因此电力工程师需要关心视在功率。变压器和导线都需要按照视在功率的大小设计，而不是有功功率。发电机和不间断电源等供电设备需同时考虑视在功率和有功功率。另外，直接将两个负载各自的视在功率相加，并不一定等于两个负载整体的视在功率，除非两个负载的电压和电流的相位差一致，或两个负载具有相同的功率因数。

根据定义，电容器提供无功功率，而电感器消耗无功功率。因此计算负载时，电阻是正数（代表消耗实功），电感也是正数（代表消耗虚功），电容则是负数（代表提供虚功）。

如果将电容器和电感器并联，那么二者的电流会倾向于相互抵消而不是叠加。这是电力系统中进行功率因数校正的一个基本方法。一般惯例，若电流的相位领先电压的相位，则称为功率因数领先，反之则称为功率因数落后。例如，复数功率 S = 800 + j600 表示 800W 实功、600var 虚功、1000VA 视在功率及功率因数 0.8 落后。

功率的单位是瓦特（符号为W），但是一般来说，只有讨论实际功率的时候才会用这个称呼。视在功率的单位一般以伏特·安培（简称“伏安”，符号为VA）称呼，因为其定义为电流的均方根乘以电压的均方根。无功功率的单位为无功伏特·安培，简称“无功伏安”，符号为var。

公式[编辑]

交流电功率可以用实数或复数的方式表示。一般而言，在物理学及科学研究中通常使用实数计算电功率，并以弧度作为相角的单位。在电机工程学中，会按需要使用实数或复数，相角也可采用角度或弧度表示。

实数[编辑]

各个与功率相关的参数，以及各自的单位如下所示^[3]：

有功功率、平均功率或实功率 P：瓦特（W）
无功功率或虚功率 Q：无功伏安（var）
电压-电流相位差或功率角（power angle） $\theta =\theta _{v}-\theta _{i}$ ：角度（°）或弧度（rad）
视在功率 S：伏安（VA）
功率因数（power factor）：无单位

交流电讯号为弦波讯号，其电压可写成 $v(t)=V_{m}\,\cos(\omega t+\theta _{v})$ ，电流可写成 $i(t)=I_{m}\,\cos(\omega t+\theta _{i})$

瞬时功率: $p(t)=v(t)\,i(t)$ $={\frac {V_{m}I_{m}}{2}}\cos \,\theta \,(1+\cos \,2\omega t)-{\frac {V_{m}I_{m}}{2}}\sin \,\theta \,\sin \,2\omega t$ $={\frac {V_{m}I_{m}}{2}}\cos \,\theta +{\frac {V_{m}I_{m}}{2}}\cos \,(\theta +2\omega t)$ $=P+|S|\,\cos \,(\theta +2\omega t)$; 以上可得瞬时功率的频率为电压或电流的两倍，平均瞬时功率为 $P$ ，最大瞬时功率为 $P+|S|$ ，最小瞬时功率为 $P-|S|$ 。
视在功率: $S=V\,I={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}$
功率因数: $pf={\frac {P}{S}}=\cos \,\theta$
阻抗: $Z={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}$; $V=IZ$

复数[编辑]

在电机工程中，电流通常标记为 $i(t)$ 或简写为 $i$ 。为免与电流混淆，虚数单位改用i之后的英文字母j，且虚数单位标记于数字前。

j^{2}=-1

复数功率: $|S|={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}$; $S=VI^{*}=P+jQ$; $S=I^{2}Z={\frac {V^{2}}{Z^{*}}}$
功率因数: $pf={\frac {P}{|S|}}=\cos \,\theta$
阻抗: $Z=R+jX$; $V=IZ$

相比实数版公式，复数版公式的最大差别在于，计算功率时必须取电流的共轭，原因是相差的定义是电压相角减电流相角。

V=V_{pk}\angle \theta _{v}

I=I_{pk}\angle \theta _{i}

S=V_{pk}I_{pk}\angle (\theta _{v}-\theta _{i})=VI^{*}

参见[编辑]

参考资料[编辑]

^ Thomas, Roland E.; Rosa, Albert J.; Toussaint, Gregory J. The Analysis and Design of Linear Circuits 8. Wiley. 2016: 812–813. ISBN 978-1-119-23538-5.
^ IEEE Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions. IEEE. 2010. ISBN 978-0-7381-6058-0. doi:10.1109/IEEESTD.2010.5439063.
^ 《Electric Circuits》10th edition by James W. Nilsson & Susan A. Riedel (2014)

[1] Thomas, Roland E.; Rosa, Albert J.; Toussaint, Gregory J. The Analysis and Design of Linear Circuits 8. Wiley. 2016: 812–813. ISBN 978-1-119-23538-5.

[2] IEEE Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions. IEEE. 2010. ISBN 978-0-7381-6058-0. doi:10.1109/IEEESTD.2010.5439063.

[3] 《Electric Circuits》10th edition by James W. Nilsson & Susan A. Riedel (2014)

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