全微分

在微积分中，函数 $f$ 在某一点的全微分（英语：total derivative）是指该函数在该点附近关于其自变量的最佳线性近似。与偏微分不同，全微分反映了函数关于其所有自变量的线性近似，而非单个自变量。

全微分可以看成是把单变数函数的微分推广到多变数函数上：单变量函数的全微分与其微分相同；而多变数函数在某点的全微分为一线性映射，通常可用矩阵或向量表示。例如，对于二元函数 $\textstyle f(x,y)$ ，设 $f$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 的某个邻域内有定义， $\scriptstyle (x_{0}+\Delta x,\ y_{0}+\Delta y)$ 为该邻域内的任意一点，则该函数在点 $(x_{0},\ y_{0})$ 的变化量 $\scriptstyle \Delta f=f(x_{0}+\Delta x,\ y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},\ y_{0})$ 可表示为

\Delta f=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )

，

其中 $A$ ， $B$ 皆为常数且仅与点 $(x_{0},y_{0})$ 有关，而与 $\Delta x$ ， $\Delta y$ 无关， $\scriptstyle \rho ={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$ 。若 $o(\rho )$ 是当 $\rho \rightarrow 0$ 时的高阶无穷小，则称此函数 $f$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 可微分，而矩阵(或向量) $(A,B)$ 即为函数 $f$ 在 $(x_{0},\ y_{0})$ 的全微分也简称微分，记作

Df|_{(x_{0},y_{0})}=(A,B)

或 $f'(x_{0},y_{0})=(A,B)$ 。

存在条件[编辑]

全微分继承了部分一元函数实函数（定义域和值域为实数的函数）的微分所具有的性质，但两者间也存在差异。从全微分的定义出发，可以得出有关全微分存在条件的多个定理。

充分条件[编辑]

一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是：此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续，则此函数在该点可微。

对于二元函数，此定理可表述为：若二元函数 $z=f(x,\ y)$ 在点 $(x_{0},\ y_{0})$ 的某邻域内的偏导数 $f_{x}(x_{0},\ y_{0})$ 与 $f_{y}(x_{0},\ y_{0})$ 存在，且偏导函数 $f_{x}(x,\ y)$ 与 $f_{y}(x,\ y)$ 在点 $(x_{0},\ y_{0})$ 都连续，则此函数在点 $(x_{0},\ y_{0})$ 可微。需要注意的是，此条件并非充要条件，存在偏导函数不连续但是多元函数可全微分的情况。如果不满足这个充分条件，那么一个多元函数能否全微分则必须由定义加以证明，即验证 $\lim _{\rho \to 0}{\frac {\Delta z-[f_{x}(x_{0},\ y_{0})\Delta x+f_{y}(x_{0},\ y_{0})\Delta y]}{\rho }}=0$ 是否成立。