推迟势

在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“$'\,\!$”；源变数的标记的后面有单撇号“$'\,\!$”。

在电磁学里，推迟势指的是，响应含时电荷分布或含时电流分布，而产生的推迟纯量势或推迟向量势。对于这程序，由于“前因”与“后果”之间必然的推迟关系，讯号以光速从源位置传播到场位置，需要有限时间。在某源位置的电流或电荷分布，必须经过一段时间之后，才能够将其影响传播到场位置，产生对应的电磁作用。这一段时间的长久跟源位置与场位置之间距离的远近有关。

理论概念

给予在源位置$\mathbf {r} '$的含时电荷分布或含时电流分布，计算在场位置$\mathbf {r}$产生的推迟势。

对于静态的电荷分布和电流分布，电势$\Phi (\mathbf {r} )$和磁向量势$\mathbf {A} (\mathbf {r} )$分别定义为

$\Phi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '$、

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '$；

其中，$\mathbf {r}$是场位置，$\mathbf {r} '$是源位置，$\epsilon _{0}$是真空电容率，$\mu _{0}$是真空磁导率，$\rho$是电荷密度，$\mathbf {J}$是电流密度，$\mathbb {V} '$是体积分的空间，$d^{3}\mathbf {r} '$是微小体元素。

在电动力学里，这两个方程式必须加以延伸，才能正确地响应含时电流分布或含时电荷分布。定义推迟时间$t_{r}$为检验时间$t$减去电磁波传播的时间：

$t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}$；

其中，$c$是光速。

假设，从源位置$\mathbf {r} '$往场位置$\mathbf {r}$发射出一束电磁波，而这束电磁波在检验时间$t$抵达观测者的场位置$\mathbf {r}$，则这束电磁波发射的时间是推迟时间$t_{r}$。由于电磁波传播于真空的速度是有限的，观测者检验到电磁波的检验时间$t$，会不同于这电磁波发射的推迟时间$t_{r}$。

推迟纯量势$\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$与推迟向量势$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$分别用方程式定义为

$\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '$、

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '$。

请注意，在这两个含时方程式内，源电荷密度和源电流密度都跟推迟时间$t_{r}$有关，而不是与时间无关。

这两个含时方程式，是用推理得到的启发式，而不是用任何定律或公理推导出来的。讯号以光速传播，从源位置到场位置，需要有限时间。所以在时间$t$的推迟势必定是由在推迟时间$t_{r}$的源电荷密度或源电流密度产生的。为了要确定这两个方程式的正确性与合理性，必须证明它们满足非齐次的电磁波方程式。还有，劳仑次规范是一个常用的规范，可以较便利地解析电磁辐射的生成问题。稍后会有表示两个方程式满足劳仑次规范条件的证明。

非齐次的电磁波方程式

含时电荷分布或含时电流分布所产生的电势或磁向量势，必须遵守达朗贝尔方程，表达为

$\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-{\rho (\mathbf {r} ,\,t) \over \epsilon _{0}}$、

$\nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} ,\,t)$。

假若，这些用启发法推理得到的推迟纯量势$\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$和推迟向量势$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$不能满足非齐次的电磁波方程式，那么，这些推迟势很可能有重大错误，无法适用于期望的用途（从含时源生成电磁辐射）。

设定${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}$为从源位置到场位置的分离向量：

${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} '$。

场位置$\mathbf {r}$、源位置$\mathbf {r} '$和时间$t$都是自变数（independent variable）。分离向量${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}$和其大小${\mathfrak {R}}$都是应变数（dependent variable），跟场位置$\mathbf {r}$、源位置$\mathbf {r} '$有关。推迟时间$t_{r}=t-{\mathfrak {R}}/c$也是应变数，跟时间$t$、分离距离${\mathfrak {R}}$有关。

推迟纯量势$\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$的梯度是

$\nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\nabla \left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\right)\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}+\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \left({\frac {1}{\mathfrak {R}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '$。

源电荷密度$\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})$的全微分是

${\begin{aligned}d\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}dt_{r}\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left({\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial t_{r}}{\partial {\mathfrak {R}}}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left(dt-{\frac {1}{c}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left[dt-{\frac {1}{c}}(\nabla {\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} )+\nabla '{\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} ')\right]\\\end{aligned}}$ 。

注意到

${\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t)}{\partial t}}={\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}={\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}$、

$\nabla {\mathfrak {R}}={\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}$。

所以，源电荷密度$\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})$的梯度是

$\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}\nabla {\mathfrak {R}}=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}=-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}$；

其中，${\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})$定义为${\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t)}{\partial t_{r}}}$。

将这公式代入，推迟纯量势$\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$的梯度是

$\nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '$。

推迟纯量势$\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$的拉普拉斯算符是

${\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {\nabla {\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}\cdot {\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}\right)-[\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})]\cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} \\&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {{\ddot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}{\mathfrak {R}}}}-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}-4\pi \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\delta ^{3}({\boldsymbol {\mathfrak {R}}})\right]\,d^{3}\mathbf {r} '\\&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left[{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\right]-{\frac {\rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\epsilon _{0}}}\\\end{aligned}}$ ；

其中，$\delta ^{3}({\boldsymbol {\mathfrak {R}}})$是三维狄拉克δ函数。

所以，推迟纯量势满足非齐次的电磁波方程式

$\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\epsilon _{0}}}$。

类似地，可以证明推迟向量势$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$满足非齐次的电磁波方程式。

劳仑次规范条件

给予磁场$\mathbf {B}$，并不是只有一个向量场$\mathbf {A}$满足条件$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$。实际上，有无限多个解答。应用一项向量恒等式，$\nabla \times (\nabla \lambda )=0$，给予任意函数$\lambda$，那么，$\mathbb {A} =\mathbf {A} +\nabla \lambda$也是一个解答。磁向量势的这种特性，称为规范自由。

物理学家时常会选择使用某种规范来解析特定的问题。在电磁学里，劳仑次规范是一个常用的规范，可以便利地解析电磁辐射的生成问题。劳仑次规范用微分方程式表达为

$\nabla \cdot \mathbf {A} +{1 \over c^{2}}{{\partial \Phi } \over {\partial t}}=0$。

按照前述方法，可以证明推迟纯量势$\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$和推迟向量势$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$满足劳仑次规范。这是一个很好的练习。

广义的含时电磁场

主条目：杰斐缅柯方程式

推迟势与电场$\mathbf {E}$、磁场$\mathbf {B}$的关系分别为

$\mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$、

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$。

按照前述方法，可以得到电场$\mathbf {E}$和磁场$\mathbf {B}$的方程式，又称为杰斐缅柯方程式：

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r}){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}-{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]d^{3}\mathbf {r} '$、

$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\ d^{3}\mathbf {r} '$。

超前势

定义超前时间$t_{a}$为现在时间$t$加上光波传播的时间：

$t_{a}\ {\stackrel {def}{=}}\ t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}$。

超前纯量势$\Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$与超前向量势 $\mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$分别用方程式表达为

$\Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{a})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '$、

$\mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{a})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '$。

这两个方程式表明，在时间$t$的超前纯量势与超前向量势，乃是由在超前时间$t_{a}$的源电荷密度或源电流密度产生的。超前纯量势$\Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$与超前向量势$\mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$也满足非齐次的电磁波方程式和劳仑次规范，但它们违反了因果律。这是很严峻的问题，未来发生的事件不应该影响过去发生的事件。在物理学里，超前纯量势和超前向量势只是很有意思的纯理论问题，并没有任何实际用途。

参阅

• 非齐次的电磁波方程式
• 杰斐缅柯方程式
• 黎纳-维谢势
• 拉莫方程式
• 阿布拉罕-劳仑兹力
• 狭义相对论