概形

概形（scheme）是代数几何学中的一个基本概念。概形是由亚历山大在他1960年的论文《代数几何基础》中提出的，其中一个目的是为了解决代数几何中的一些问题，例如威尔猜想 。建立在交换代数的基础之上，概形理论允许使用拓扑学、同调代数中有系统的方法。概形理论也将许多代数几何和数论的问题统一，这也使得怀尔斯得以证明费马最后定理。

定义

给定一个局部赋环空间$(X,{\mathcal {O}}_{X})$，如果对$X$的一个开集$V$，$(V,{\mathcal {O}}_{X}|_{V})$是仿射概形，称$V$为仿射开集。

一个局部赋环空间$(X,{\mathcal {O}}_{X})$称为概形，如果$X$的每一点$x$都有仿射开邻域，即包含$x$的仿射开集。

直观上说，概形是由仿射概形粘起来得到的，正如流形是由欧几里得空间粘起来得到的。

两个概形之间的态射就是它们作为局部赋环空间的态射。

概形范畴

全体概形构成范畴，其态射取为局部赋环空间之间的态射（另见概形的态射）。给定概形$Y$，所谓$Y$之上的概形$X$（又称$Y$-概形）即是概形间的态射$X\to Y$。交换环$R$上的概形$X$即是态射$X\to \operatorname {Spec} (R)$。

域$k$上的代数簇可定义为$k$上的满足特定条件的概形，但对于具体何种概形可称为簇，有不同约定，其中一种定义为$k$之上有限型的整、分离概形。

态射$f:X\to Y$确定了正则函数环上的拉回同态$f^{*}:{\mathcal {O}}(Y)\to {\mathcal {O}}(X)$。对于仿射概形，此构造给出概形态射$\operatorname {Spec} (A)\to \operatorname {Spec} (B)$与环同态$B\to A$之间的一一对应。此意义下，概形论包含了交换环论的全部内容。

由于$\mathbb {Z}$是交换环范畴的始对象，概形范畴对应以$\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$为终对象。对于交换环$R$上的概形$X$，所谓$X$的$R$值点即是态射$X\to \operatorname {Spec} (R)$的截面，全体$R$值点的集合记作$X(R)$，其对应的古典概念是定义$X$的方程组在$R$中的解集。若$R$实为域$k$，则$X(k)$亦称为$X$的$k$-有理点集。

推而广之，设有交换环$R$，其上有概形$X$和交换代数$S$，则$X$的$S$值点定义为$R$之上的态射$\operatorname {Spec} (S)\to X$（该态射需要与射向$\operatorname {Spec} (R)$的态射组成交换图表），$S$值点的集合记作$X(S)$。（类比到方程组的情况，相当于将某个域$k$扩张成$E$，再考虑$E$中的解集。）固定$R$及其上的概形$X$时，映射$S\mapsto X(S)$为自交换$R$代数范畴至集合范畴的函子。$R$上的概形$X$可从此点函子确定。

概形的纤维积总存在：对任意两态射$X\to Y,Z\to Y$，皆可在概形范畴内找到纤维积$X\times _{Y}Z$（即范畴学拉回）。若$X,Z$为域$k$上的概形，则两者在$\operatorname {Spec} (k)$上的纤维积可以视为$k$-概形范畴中的积，例如仿射空间$\mathbb {A} ^{m}$与$\mathbb {A} ^{n}$在$k$上之积正是$\mathbb {A} ^{m+n}$。

由于概形范畴既有纤维积，又有终对象$\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$，其有齐全部有限极限。

历史

概形的概念是由亚历山大·格罗滕迪克在20世纪50年代引入的。一开始称为“预概形”（法语：préschéma，英语：prescheme），1967年左右改称现名。

概形的中文名称源自日文“概型”。

例

• 仿射概形的开子集不一定仿射，因此需要考虑（非仿射的）一般概形。例如，设$X=\mathbb {A} ^{n}\setminus \{0\}$（基域取复域$\mathbb {C}$为例），则当$n\geq 2$时，$X$不为仿射。（但对于$n=1$的情况，仿射直线挖去原点，同构于仿射概形$\operatorname {Spec} \mathbb {C} [x,x^{-1}]$。）欲证$X$非仿射，可以证出当$n\geq 2$时，$X$上的每个正则映射，皆可延拓至$\mathbb {A} ^{n}$上。（对正则映射较易证明；对解析函数，则是复分析的哈托格斯延拓定理）。换言之，嵌入$f:X\to \mathbb {A} ^{n}$导出自${\mathcal {O}}(\mathbb {A} ^{n})=\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$至${\mathcal {O}}(X)$的环同构。假若$X$仿射，将由此得出$f$本身亦为同构，但$f$不为满射，矛盾。因此，概形$X$不为仿射。
• 设$k$为域，则可数积${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }k}$的谱${\textstyle \operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)}$为仿射概形，底下的拓扑空间为正整数集（离散）的斯通-切赫紧化，因为质理想与正整数集上的超滤子一一对应：超滤子${\mathcal {F}}$对应质理想

  $\quad I=\{x\in \prod _{n=1}^{\infty }k:\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:x_{n}=0\}\in {\mathcal {F}}\},$

  特别地，正整数$n$对应的主超滤子，对应的质理想是$\{x:x_{n}=0\}$。本例仿射概形为零维空间，故而每点自成一个既约分支。由于仿射概形皆拟紧，本例是拟紧但具有无穷多个既约分支的概形。（诺特概形则与之相对，衹有有限多个既约分支。）

参考文献

• Arapura, Donu. Frobenius amplitude, ultraproducts, and vanishing on singular spaces. Illinois Journal of Mathematics. 2011, 55 (4): 1367–1384. MR 3082873. doi:10.1215/ijm/1373636688 . 
• Eisenbud, David; Harris, Joe. The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. 1998. ISBN 978-0-387-98637-1. MR 1730819. 
• Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1997 [1977]. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. 

参见

• 《代数几何基础》