维塔利覆盖引理

数学上，维塔利(Vitali)覆盖引理是一个组合几何的结果，用于实分析中。这引理说给出一族球，可以从中找到一族互不相交的球，将这些球半径增加一定倍后，就能把其他的球都覆盖住。

引理叙述[编辑]

有限多球[编辑]

在一个度量空间中有一族闭球 $B_{1},\ldots ,B_{n}$ ，则这一族球中存在互不相交的球 $B_{i_{1}},\ldots ,B_{i_{m}}$ ，适合条件

B_{1}\cup \ldots \cup B_{n}\subset 3B_{i_{1}}\cup \ldots \cup 3B_{i_{m}}

$3B_{i_{k}}$ 表示和 $B_{i_{k}}$ 有相同中心，而半径是 $B_{i_{k}}$ 的三倍的球。

无限多球[编辑]

在一个度量空间中有一族半径为正数的闭球 $\{B_{i}:i\in I\}$ ，这族球的半径有有限的上界，即

\sup _{I}\mathrm {rad} (B_{i})<\infty

则这一族球中存在互不相交的球 $\{B_{i}:i\in I'\}$ ， $I'\subset I$ ，适合条件

\bigcup _{i\in I}B_{i}\subset \bigcup _{i\in I'}5B_{i}

$5B_{i}$ 表示和 $B_{i}$ 有相同中心，而半径是 $B_{i}$ 的五倍的球。

证明[编辑]

有限情形[编辑]

取这一族球中半径最大的一个球 $B_{i_{1}}$ ，然后除去所有与 $B_{i_{1}}$ 相交的球。再从剩下的球中取半径最大的为 $B_{i_{2}}$ ，如此类推。那么任何其他的球必定因为和某个 $B_{i_{k}}$ 相交而被除去，这个球的半径不大于 $B_{i_{k}}$ ，因此包含在 $3B_{i_{k}}$ 之内。

无限情形[编辑]

设这一族球的半径的上确界为R。将这一族按半径分成子集 ${\mathcal {F}}_{j}$ ，j为正整数； ${\mathcal {F}}_{j}$ 包含半径在区间 $(R/2^{j},R/2^{j-1}]$ 的球。依次取 ${\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2},\cdots$ 如下：

设 ${\mathcal {F}}'_{1}={\mathcal {F}}_{1}$ 。取 ${\mathcal {G}}_{1}$ 为 ${\mathcal {F}}'_{1}$ 内互不相交球的子集之中的极大者，即其他在 ${\mathcal {F}}'_{1}$ 中的球都与这一子集中某个球相交。从佐恩引理知这样的 ${\mathcal {G}}_{1}$ 存在，以下同。
设已取 ${\mathcal {G}}_{1},\cdots ,{\mathcal {G}}_{k-1}$ ，k为某大于1的整数。设 ${\mathcal {F}}'_{k}$ 是 ${\mathcal {F}}_{k}$ 中不与 ${\mathcal {G}}_{1}\cup \cdots \cup {\mathcal {G}}_{k-1}$ 中任何球相交的全部球的子集。取 ${\mathcal {G}}_{k}$ 为 ${\mathcal {F}}'_{k}$ 内互不相交球的子集之中的极大者。

设 ${\mathcal {G}}=\bigcup _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{k}$ 。任何其他的球B必在某一个 ${\mathcal {F}}'_{k}$ 中，因此这个球与 ${\mathcal {G}}_{k}$ 中一个球 $B'$ 相交，而 $B'$ 的半径大于B的半径的二分之一，故此B包含在 $5B'$ 之内。

讨论[编辑]

因为有无限多球时，可能不存在半径最大的球，所以在构造中，每一步选择的球的半径，只要求接近馀下的球的半径的上确界。而结果中的5并非最佳常数。将 ${\mathcal {F}}_{j}$ 的定义中的 $2^{j},2^{j+1}$ 的2换成任何大于1的数c，那么就可把结果中的5换成1+2c，即可以用任何大于3的数取代。不过由于未必有半径最大的球，以致不能像有限多球时用3取代，以下是一个简单例子。

例子[编辑]

在平面 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，给出如下的一族球：对每个正整数n， $B_{n}$ 是半径为 $2-1/n$ 的闭球，若n为奇数， $B_{n}$ 的圆心在 $(2-1/n,0)$ ；若n为偶数，则圆心在 $(-2+1/n,0)$ 。所有球都包含原点(0,0)，故任意两个球都相交，因此包含互不相交的球的子集只能有一个球。这一族球的半径上确界是2，然而全部球的半径都小于2。若选任何一个 $B_{n}$ 为这个子集，因有半径更大的球 $B_{n+1}$ 在原点的另一侧，故此 $3B_{n}$ 不覆盖 $B_{n+1}$ 。