自由粒子

在物理学里，自由粒子是不被位势束缚的粒子。在经典力学里，一个自由粒子所感受到外来的净力是0。

假若，一个粒子的能量大于在任何地点$x\,\!$的位势，$E>V(x)\,\!$，不会被位势束缚，则称此粒子为自由粒子。更强版的定义，还要求位势为常数$V(x)=V_{0}\,\!$。假若，一维空间分为几个区域，只有在每个区域内，位势为常数；在区域与区域之间，位势不相等，则称此粒子为半自由粒子。自由粒子或半自由粒子的能量大于位势，$E>V(x)\,\!$，不会被位势束缚，能量不是离散能量谱的特殊值，而是大于或等于$V_{0}\,\!$的任意值。

本条目只论述强版定义的自由粒子。由于能量与位势都不是绝对值，可以设定位势为0，再根据新旧位势的差额，调整能量。

古典自由粒子

古典自由粒子的特点是它移动的速度$\mathbf {v} \,\!$是不变的。它的动量$\mathbf {p} \,\!$是

$\mathbf {p} =m\mathbf {v} \,\!$。

其中，$m\,\!$是粒子的质量。

能量$E\,\!$是

$E={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!$。

非相对论性的自由粒子

描述一个非相对论性自由粒子的含时薛丁格方程式为

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$；

其中，$\hbar$是约化普朗克常数，$\Psi (\mathbf {r} ,t)$是粒子的波函数，$\mathbf {r}$是粒子的位置，$t$是时间。

这薛丁格方程式有一个平面波解：

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$；

其中，$\mathbf {k}$是波向量，$\omega$是角频率。

将这公式代入薛丁格方程，这两个变数必须遵守关系式

${\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega \,\!$。

由于粒子存在的机率等于1，波函数$\Psi (\mathbf {r} ,t)\,\!$必须归一化，才能够表达出正确物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。

动量的期望值是

$\langle \mathbf {p} \rangle =\langle \Psi |-i\hbar \nabla |\Psi \rangle =\hbar \mathbf {k} \,\!$。

能量的期望值是

$\langle E\rangle =\langle \Psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi \rangle =\hbar \omega \,\!$。

代入波向量$\mathbf {k} \,\!$与角频率$\omega \,\!$的关系方程，可以得到熟悉的能量与动量的关系方程：

$\langle E\rangle ={\frac {\langle p\rangle ^{2}}{2m}}\,\!$。

波的群速度$v_{g}\,\!$定义为

$v_{g}={\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} k}}={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} p}}=v\,\!$；

其中，$v\,\!$是粒子的经典速度。

波的相速度$v_{p}\,\!$定义为

$v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {E}{p}}={\frac {p}{2m}}={\frac {v}{2}}\,\!$。

在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数以波包函数表示为

$\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {K} }A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\mathrm {d} \mathbf {k} \,\!$；

其中，积分区域$\mathbb {K}$是$\mathbf {k}$-空间。

为了方便计算，只考虑一维空间，

$\Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\ \mathrm {d} k\,\!$；

其中，振幅$A(k)\,\!$是量子叠加的系数函数。

逆反过来，系数函数表示为

$A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }\Psi (x,\ 0)~e^{-ikx}\,\mathrm {d} x\,\!$；

其中，$\Psi (x,\ 0)\,\!$是在时间$t=0\,\!$的波函数。

所以，知道在时间$t=0\,\!$的波函数$\Psi (x,\ 0)\,\!$，通过傅立叶转换，可以推导出在任何时间的波函数$\Psi (x,t)\,\!$。

相对论性的自由粒子

相对论性的自由粒子的量子行为，需要用特别的方程专门描述：

• 克莱因-戈尔登方程描述中性的，自旋为零的，相对论性的自由粒子的量子行为。
• 狄拉克方程描述相对论性的电子（自旋为$1/2\,\!$）的量子行为。

参阅

• 态叠加原理
• 无限深方形阱
• 有限深方形阱
• 有限位势垒
• 球对称位势
• Delta位势阱
• Delta位势垒
• 波包