里斯表示定理

在泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理（英语：Riesz representation theorem），它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯。

希尔伯特空间的表示定理

此定理说明希尔伯特空间的连续线性泛函都可以表示成内积。

定理：$H$是个复希尔伯特空间（也就是标量是复数），那对于任意连续线性泛函 $f:H\to \mathbb {C}$，存在唯一的 $v_{f}\in H$ 使得

$f(h)=\langle v_{f},\,h\rangle$

证明的重点在于先证明$f$ 的核的正交补是 $H$ 的一维子空间，然后取那个子空间中一个非零元素 $z$，设 $v_{f}={\frac {f(z)\cdot z}{{\|z\|}^{2}}}$。

与狄拉克符号的关系

这个定理也是量子力学中的狄拉克符号于数学上合理的依据；也就是说，当机率幅 $\langle \psi |\phi \rangle$ 对每个任意态向量 $|\phi \rangle$ 都是连续的时候，可以视为每个左向量 $\langle \psi |$ （也就是表示跃迁到 $\psi$ 状态的机率幅的线性泛函）都有一个相应的右向量 $|\psi \rangle$ 来同时代表同一个纯态 $\psi$ ，因为根据以上的表现定理， $\langle \psi |\phi \rangle$ 就是 $|\psi \rangle$ 和 $|\phi \rangle$ 的内积。

里斯-马尔可夫表示定理

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历史

历史上，通常认为这个定理同时由里斯和弗雷歇发现

给定算子 $A[f]$，（任何人）可以构造一个有界变差函数 $\alpha (x)$，使得，对任何连续函数 $f(x)$ ，（任何人）有

$A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)$。

Étant donnée l'opération $A[f]$ , on peut déterminer la fonction à variation bornée $\alpha (x)$ , telle que, quelle que soit la fonction continue $f(x)$ , on ait

$A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)$.

— Riesz, 1909

支集为紧的连续函数空间

$C_{c}(X)$ 意为由所有支集为紧的连续函数 $f:X\to \mathbb {C}$ 所构成的函数空间。

定理： $X$ 是局部紧的豪斯多夫空间 ，则对正线性泛函 $\Lambda :C_{c}(X)\to \mathbb {R} ^{+}$，存在一个含有所有 $X$ 的博雷尔集的Σ-代数 ${\mathfrak {M}}$ ，且存在唯一的测度$\mu :{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{-\infty ,\,\infty \}$ 使得

$\Lambda (f)=\int _{X}f\,d\mu$

且（以下的条件称为正则的）

• 对所有 $X$ 的紧子集 $K\subseteq X$ ，$\mu (K)\in \mathbb {R}$。
• 若 $E\in {\mathfrak {M}}$ ，则 $\mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,\,U{\text{ is open}}\}$
• 若 $E\in {\mathfrak {M}}$ 且 $\mu (E)\in \mathbb {R}$ ，则 $\mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,\,K{\text{ is compact}}\}$
• 若$O$ 为 $X$ 的开集，则$\mu (O)=\sup\{\mu (K):K\subseteq O,\,K{\text{ is compact}}\}$

于无穷远处消失的连续函数空间

里斯-马尔可夫表示定理也有以下不同的版本：

设 $C_{0}(X)$ 为 $X$ 上所有在无穷远处消失的连续函数 $f:X\to \mathbb {C}$ 所构成的函数空间。

定理：$X$ 是局部紧的豪斯多夫空间。则对有界线性泛函 $\Lambda :C_{0}(X)\to \mathbb {R}$，存在一个含有所有 $X$ 的博雷尔集的Σ-代数 ${\mathfrak {M}}$ ，且存在唯一的正则测度$\mu :{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\,\infty \}$ 使得

$\Lambda (f)=\int _{X}f\,d\mu$

且 $\Lambda$ 的范数是 $\mu$ 的全变差（英语：total variation），即

$\|\Lambda \|=|\mu |(X).$

最后，$\Lambda$ 是正的当且仅当测度 $\mu$ 是非负的。

注：$C_{c}(X)$ 上的有界线性泛函可唯一地延拓为 $C_{0}(X)$上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的闭包。但是 $C_{c}(X)$ 上一个无界正线性泛函不能延拓为 $C_{0}(X)$ 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。

参考文献

• M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1414–1416.
• F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytiques des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411.
• F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
• J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(3) 1984-85, 127-187.
• P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
• P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).
• D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, American Mathematical Monthly, 90(4), 277-280 (A category theoretic presentation as natural transformation).
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.
• 埃里克·韦斯坦因. Riesz Representation Theorem. MathWorld. 
• Proof of Riesz representation theorem for separable Hilbert spaces. PlanetMath.