M/M/1

M/M/1排队模型（M/M/1 model）是一种单一服务台（single-server）的（排队模型），可用作模拟不少系统的运作。

M/M/1 schema

依据开恩特罗符号必须有下列的条件：

• 到达时间卜瓦松过程（Poisson process）；
• 服务时间是指数分布（exponentially distributed）；
• 只有一个服务台（server），遵循先到先服务规则
• 队列长度无限制
• 可加入队列的人数为无限

分析

这种模型是一种出生-死亡过程，此随机过程中的每一个状态代表模型中人数的数目。因为模型的队列长度无限且参与人数亦无限，故此状态数目亦为无限。例如状态0表示模型闲置、状态1表示模型有一人在接受服务、状态2表示模型有二人（一人正接受服务、一人在等候），如此类推。 在此模型中，出生率（即加入队列的速率）λ在各状态中均相同，死亡率（即完成服务离开队列的速率）μ亦在各状态中相同（除了状态0，因其不可能有人离开队列）。 故此，在任何状态下，只有两种事情可能发生：

• 有人加入队列。如果模型在状态k，它会以速率λ进入状态k + 1
• 有人离开队列。如果模型在状态k（k不等于0），它会以速率μ进入状态k − 1

由此可见，模型的隐定条件为λ < μ。如果死亡率小于出生率，则队列中的平均人数为无限大，故此这种系统没有平衡点。

此模型中有几项数值常被测量，例如：

• 一人在系统中的平均逗留时间
• 一人在接受服务前的平均等候时间
• 整个系统中的平均人数
• 等候队列的平均人数
• 单位时间内系统完成服务人数，即服务速度

稳定状态下的公式

缓冲效用 $\scriptstyle \rho \,=\,{\tfrac {\lambda }{\mu }}.$ 表示服务被占用的平均概率

平稳过程在状态i（“i”个总人数，包括正在被服务的）的机率为

${\mbox{Prob}}(q=i)=\pi _{i}=(1-\rho )\rho ^{i}.\,$

由此，可给出各测量数值的公式：

• 整个系统的平均人数N：

${\overline {N}}={\frac {\rho }{1-\rho }}$，且其方差为

$\sigma _{N}^{2}={\frac {\rho }{(1-\rho )^{2}}}$.

• 一单位时间内系统完成服务的人数：

${\overline {N}}_{S}=\rho \mu =\lambda$

• 在队列中等候服务的人数：

${\overline {N}}_{Q}={\frac {\rho ^{2}}{1-\rho }}$

• 一人在系统中的平均逗留（等候＋接受服务）时间：

$T={\frac {1}{\mu -\lambda }}.$

• 一人的平均等候时间：

$W={\frac {{\overline {N}}_{Q}}{\lambda }}=T-{\overline {x}}=T-{\frac {1}{\mu }}={\frac {\rho }{\mu -\lambda }}$

例

可用M/M/1模型的例子众多，例如只有一位员工的邮局，只有一队列。客人进来，排队、接受服务、离开。如果客人进来的数目符合泊松过程，且服务时间是指数分布，则可用M/M/1模拟，并算出平均队列长度、不同等候时间的机率等。

M/M/1可一般化成为M/M/n模型，使可用时接受服务的人数为大于一。历史上，M/M/n模型首先被用来模拟电话系统，因为一个在丹麦哥本哈根电话局工作的工程师Erlang发现客人打电话的速率符合泊松过程，且通话时间是指数分布，所以占用通讯线路的数目和等待接线的人数符合M/M/n模型。

关联项目

• 排队理论
• 马尔科夫链