偏度

偏度不為零的實驗數據樣本（小麥胚芽鞘的向地反應：1,790）

在機率論和統計學中，偏度衡量實數隨機變量概率分布的不對稱性。偏度的值可以為正，可以為負或者甚至是無法定義。在數量上，偏度為負（負偏態）就意味着在概率密度函數左側的尾部比右側的長，絕大多數的值（包括中位數在內）位於平均值的右側。偏度為正（正偏態）就意味着在概率密度函數右側的尾部比左側的長，絕大多數的值（包括中位數在內）位於平均值的左側。偏度為零就表示數值相對均勻地分布在平均值的兩側，但不一定意味着其為對稱分布。

負偏態（左）和正偏態（右）

介紹

偏度分為兩種：

• 負偏態或左偏態：左側的尾部更長，分布的主體集中在右側。。
• 正偏態或右偏態：右側的尾部更長，分布的主體集中在左側。。

如果分布對稱，那麼平均值=中位數，偏度為零（此外，如果分布為單峰分布，那麼平均值=中位數=眾數）。

定義

隨機變量X的偏度γ₁為三階標準矩，可被定義為：

$\gamma_1 = \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big] = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\operatorname{E}\big[(X-\mu)^3\big]}{\ \ \ ( \operatorname{E}\big[ (X-\mu)^2 \big] )^{3/2}} = \frac{\kappa_3}{\kappa_2^{3/2}}\ ,$

其中μ₃是三階中心矩，σ是標準差。E是期望算子。等式的最後以三階累積量與二階累積量的1.5次方的比率來表示偏度。這和用四階累積量除去二階累積量的平方來表示峰度的方法向類似。

偏度有時用Skew[X]來表示。老教科書過去常常用$\scriptstyle\sqrt{\beta_1}$,來表示偏度，可是由於偏度可為負，這樣的表示法較為不便。

對上面的等式進行擴展可導出用非中心矩E[X³]來表示偏度的公式：

$\gamma_1 = \operatorname{E}\bigg[\Big(\frac{X-\mu}{\sigma}\Big)^{\!3} \,\bigg] = \frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\operatorname E[X^2] + 2 \mu^3}{\sigma^3} = \frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}\ .$

樣本偏度

具有n個值的樣本的樣本偏度為：

$g_1 = \frac{m_3}{{m_2}^{3/2}} = \frac{\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^3}{\left(\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2\right)^{3/2}}\ ,$

其中$\overline{x}$是樣本平均值，m₃是三階樣本中心矩，m₂是二階樣本中心距，即樣本方差。

性質

當： $\Pr \left[ X > x \right]=x^{-3}\mbox{ for }x>1,\ \Pr[X<1]=0$ 時，偏度可以是無窮大的。

或者當： $\Pr[X<x]=(1-x)^{-3}/2$（x為負）及

$\Pr[X>x]=(1+x)^{-3}/2$（x為正）時，偏度無法定義。

在後面的這個例子中，三階累積量是無法定義的。 其他分布形式比如：

$\Pr \left[ X > x \right]=x^{-2}\mbox{ for }x>1,\ \Pr[X<1]=0$

二階和三階累積量是無窮大的，所以偏度也是無法定義的。

如果假定Y為n個獨立變量之和並且這些變量和X具有相同的分布，那麼Y的三階累積量是X的n倍，Y的二階累積量也是X的n倍，所以： $\mbox{Skew}[Y] = \mbox{Skew}[X]/\sqrt{n}$。根據中央極限定理，當其接近高斯分布時變量之和的偏度減小。

參見

• 峰度

參考資料

• Groeneveld, RA; Meeden, G. Measuring Skewness and Kurtosis. The Statistician. 1984, 33 (4): 391–399. doi:10.2307/2987742. 
• Johnson, NL, Kotz, S, Balakrishnan N (1994) Continuous Univariate Distributions, Vol 1, 2nd Edition Wiley ISBN0-471-58495-9
• MacGillivray, HL. Shape properties of the g- and h- and Johnson families. Comm. Statistics - Theory and Methods. 1992, 21: 1244–1250.