全微分方程

全微分方程是常微分方程的一種，它在物理學和工程學中廣泛使用。

定義

給定R²的一個單連通的開子集D和兩個在D內連續的函數I和J，那麼以下形式的一階常微分方程

$I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!$

稱為全微分方程，當且僅當存在一個連續可微的函數F，稱為勢函數，使得

${\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=I$

以及

${\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=J.$

「全微分方程」的命名指的是函數的全導數。對於函數$F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$，全導數為：

${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}.$

例子

函數

$F(x,y):={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})$

是以下全微分方程的勢函數。

$xx'+yy'=0.\,$

勢函數的存在

在物理學的應用中，I和J通常不僅是連續的，也是連續可微的。施瓦茨定理（也稱為克萊羅定理）提供了勢函數存在的一個必要條件。對於定義在單連通集合上的微分方程，這個條件也是充分的，我們便得出以下的定理：

給定以下形式的微分方程：

$I(x,y)\,dx+J(x,y)\,dy=0,\,\!$

其中I和J在R²的單連通開子集D上是連續可微的，那麼勢函數F存在，當且僅當下式成立：

${\frac {\partial I}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial J}{\partial x}}(x,y).$

全微分方程的解

給定一個定義在R²的單連通開子集D上的全微分方程，其勢函數為F，那麼D內的可微函數f是微分方程的解，當且僅當存在實數c，使得

$F(x,f(x))=c.\,$

對於初值問題

$y(x_{0})=y_{0}\,$

我們可以用以下公式來尋找一個勢函數：

$F(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})dt+\int _{y_{0}}^{y}J(x,t)dt.$

解方程

$F(x,y)=c\,$

其中c是實數，我們便可以構造出所有的解。

參見

• 全微分
• 里卡蒂方程
• 伯努利微分方程
• 柯西-歐拉方程
• 克萊羅方程
• 線性微分方程

參考文獻

• Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.
• Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004.
• Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.