分配律

分配律（distributive property）是二元運算的一個性質，它起源於基本代數運算，同時部分抽象代數運算亦符合該定律

定義

設$*$及$+$是定義在集合$S$上的兩個二元運算，我們說

• $*$對於$+$滿足左分配律，如果：

$\forall x,y,z\in S,x*(y+z)=(x*y)+(x*z)$;

• $*$對於$+$滿足右分配律，如果：

$\forall x,y,z\in S,(y+z)*x=(y*x)+(z*x)$;

• 如果$*$對於$+$同時滿足左分配律和右分配律，那麼我們說$*$對於$+$滿足分配律。

如果$*$滿足交換律，那麼以上三條語句在邏輯上是等價的。

例子

• 除了實數以外，自然數、複數和基數中的乘法都對加法滿足分配律。
• 實數及複數中的除法都對加法滿足右分配律，但不滿足左分配律。
• 序數的乘法對加法只滿足左分配律，不滿足右分配律。
• 矩陣乘法對矩陣加法滿足分配律（但不滿足交換律）。
• 集合的併集對交集滿足分配律，交集對併集也滿足分配律。另外，交集對對稱差也滿足分配律。
• 邏輯析取對邏輯合取滿足分配律，邏輯合取對邏輯析取也滿足分配律。另外，邏輯合取對邏輯異或也滿足分配律。
• 對於實數（或任何全序集合），最大值對最小值滿足分配律，反之亦然：

$\operatorname {max} (a,\operatorname {min} (b,c))=\operatorname {min} (\operatorname {max} (a,b),\operatorname {max} (a,c))$

$\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))$。

• 對於整數，最大公因子對最小公倍數滿足分配律，反之亦然：

$\operatorname {gcd} (a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\operatorname {gcd} (a,b),\operatorname {gcd} (a,c))$

$\operatorname {lcm} (a,\operatorname {gcd} (b,c))=\operatorname {gcd} (\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c))$。

• 對於實數，加法對最大值滿足分配律，對最小值也滿足分配律：

$a+\operatorname {max} (b,c)=\operatorname {max} (a+b,a+c)$

$a+\operatorname {min} (b,c)=\operatorname {min} (a+b,a+c)$。

環的分配律

分配律在環和分配格中很常見。

一個環有兩個二元運算（通常稱為$+$和$*$），其中一個要求是$*$必須對$+$滿足分配律。

格是另外一種具有兩個二元運算$\wedge$和$\vee$的代數結構。如果這兩個運算中的任何一個（例如$\wedge$）對另外一個（$\vee$）滿足分配律，則$\vee$對$\wedge$也一定滿足分配律，這時這個格便稱為分配格。

參見

• 交換律
• 結合律
• 遞移關係