單位圓

在數學中，單位圓（英語：Unit circle）是指半徑為單位長度的圓，通常為歐幾里得平面直角坐標系中圓心為 $(0,0)$ 、半徑為1的圓。單位圓對於三角函數和複數的坐標化表示有着重要意義。單位圓通常表示為S¹。多維空間中，單位圓可推廣為單位球。

如果單位圓上的點 $(x,y)$ 位於第一象限，那麼 $x$ 與 $y$ 是斜邊長度為1的直角三角形的兩條邊，根據勾股定理， $x$ 與 $y$ 滿足方程：

x^{2}+y^{2}=1\,\!

由於對於所有的 $x$ 來說 $x^{2}=(-x)^{2}$ ，並且所有這些點相對於x軸或者y軸的反射點也都位於單位圓上，因此單位圓上的所有點都滿足上面的方程。

單位圓與三角函數[編輯]

事實上，不僅僅是正弦與餘弦，而且所有六個標準三角函數—正弦（sin）、餘弦（cos）、正切（tan）、餘切（cot）、正割（sec）、餘割（csc）以及不常用的正矢（versin）和其相關函數、外正割（exsec）、外餘割（excsc）和歷史上曾存在的弦函數（crd）—都可以在單位圓表示出來。

在直角三角形中，正弦、餘弦以及其它三角函數只有當角度大於0且小於 ${\frac {\pi }{2}}$ 時才有意義。但是，在單位圓上，對於任意的實數角度，這些函數都有直觀的意義。

設 $(x,y)$ 是單位圓上的一個點。設角 $t$ 的起始邊為x軸的正方向，角度按照逆時針方向測量。那麼角t的終邊和單位圓會有一個交點。因此：

\cos(t)=x\,\!

\sin(t)=y\,\!

另外，從 $x^{2}+y^{2}=1$ 可以得到

\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1\,\!

從這裡還可以直觀地看出正弦函數與餘弦函數都是周期函數，對於任意的整數 $k$ 有恆等式

\cos t=\cos(2\pi k+t)\,\!

\sin t=\sin(2\pi k+t)\,\!

這些恆等式的依據是在角度 $t$ 增加任意圈數或者減小任意圈數的時候x與y坐標保持不變。一圈 $=2\pi$ 弧度。

複數也可以用歐幾里得平面內的點來表示， $a+bi$ 表示為 $(a,b)$ 。在這種表示下，單位圓是不斷增加的群，在數學以及科學領域這個群有很重要的應用。