可微函數

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一個可微函數的圖像

微積分學中,可微函數是指那些在定義域中所有點都存在導數的函數。可微函數的圖像在定義域內的每一點上必存在非垂直切線。因此,可微函數的圖像是相對光滑的,沒有間斷點、尖點或任何有垂直切線的點。

一般來說,若X0是函數ƒ定義域上的一點,且ƒ′(X0)有定義,則稱ƒ在X0點可微。這就是說ƒ的圖像在(X0, ƒ(X0))點有非垂直切線,且該點不是間斷點、尖點。

可微性與連續性[編輯]

魏爾斯特拉斯函數連續,但在任一點都不可微

若ƒ在X0點可微,則ƒ在該點必連續。特別的,所有可微函數在其定義域內任一點必連續。逆命題則不成立:一個連續函數未必可微。比如,一個有拐點、尖點或垂直切線的函數可能是連續的,但在異常點不可微。

實踐中運用的函數大多在所有點可微,或幾乎處處可微。但斯特凡·巴拿赫聲稱可微函數在所有函數構成的集合中卻是少數[1]這表示可微函數在連續函數中不具代表性。人們發現的第一個處處連續但處處不可微的函數是魏爾斯特拉斯函數

參考資料[編輯]

  1. ^ Banach, S. Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen. Studia. Math. 1931, (3): 174–179. . Cited by Hewitt, E and Stromberg, K. Real and abstract analysis. Springer-Verlag. 1963: Theorem 17.8.