葉戈羅夫定理

在測度論中，葉戈羅夫定理確立了一個可測函數的逐點收斂序列一致連續的條件。這個定理以俄國物理學家和幾何學家德米特里·葉戈羅夫命名，他在1911年出版了該定理。

葉戈羅夫定理與緊支撐連續函數在一起，可以用來證明可積函數的盧津定理。

定理的陳述

設(M,d)為一個可分度量空間（例如實數，度量為通常的距離d(a,b) = |a − b|）。給定某個測度空間(X,Σ,μ)上的M-值可測函數的序列(f_n)，以及一個有限μ-測度的可測子集A，使得(f_n)在A上μ-幾乎處處收斂於極限函數f，那麼以下結果成立：對於每一個ε > 0，都存在A的一個可測子集B，使得μ(B) < ε，且(f_n)在相對補集A \ B上一致收斂於f。

在這裡，μ(B)表示B的μ-測度。該定理說明，在A上幾乎處處逐點收斂，意味着除了在任意小測度的某個子集B外一致收斂。這種收斂又稱為幾乎一致收斂。

假設的討論

注意μ(A) < ∞的假設是必要的。在勒貝格測度下，考慮定義在實直線上的實值指示函數的序列：

$f_{n}(x)=1_{[n,n+1]}(x),\qquad n\in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {R}$

這個序列處處逐點收斂於零函數，但對於任何有限測度的集合B，它在R \ B上不一致收斂。

度量空間的可分性是需要的，以保證對於M-值可測函數f和g，距離d(f(x), g(x))也是x的可測實值函數。

證明

對於實數n和k，定義集合E_n,k為以下併集：

$E_{n,k}=\bigcup _{m\geq n}{\Bigl \{}x\in A\,{\Big |}\,d(f_{m}(x),f(x))\geq {\frac {1}{k}}{\Bigr \}}.$

當n增加時這些集合逐漸變小，意味着E_n+1,k總是E_n,k的子集，因為第一個併集包含了較少的集合。一個點x，使得序列(f_m(x))收斂於f(x)，不能位於每一個E_n,k中（對於固定的k），因為f_m(x)最終必須離f(x)比離1/k更近。因此根據在A上μ-幾乎處處逐點收斂的假設，有：

$\mu {\biggl (}\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n,k}{\biggr )}=0$

對於每一個k。由於A的測度是有限的，我們便可從上面推出連續性；因此對於每一個k，都存在某個自然數n_k，使得：

$\mu (E_{n_{k},k})<{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}.$

對於這個集合中的x，我們認為逼近f(x)的1/k-鄰域的速度太慢。定義

$B=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }E_{n_{k},k}$

為A中所有點x的集合，使得逼近f(x)的至少一個1/k-鄰域的速度太慢。因此，在集合差A \ B上，我們便得出一致收斂。

根據μ的σ可加性，並利用幾何級數，我們便得到：

$\mu (B)\leq \sum _{k\in \mathbb {N} }\mu (E_{n_{k},k})\leq \sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}=\varepsilon .$

參考文獻

1. Richard Beals (2004). Analysis: An Introduction. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.
2. Dmitri Egoroff (1911). Sur les suites des fonctions measurables. C.R. Acad. Sci. Paris, 152:135–157.
3. Eric W. Weisstein et al. (2005). Egorov's Theorem（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. 於2005年4月19日訪問。