向量空間的維數

零維空間只是一個點

數學中, 向量空間 V 的維數是 V 的基底的勢，即基底中向量的個數。向量空間的維數有時也稱作哈梅爾維數（Hamel basis）或代數維數以便與其他類型的維數相區別。 向量空間中的所有基底具有相等的勢（參閱向量空間的維數定理）。所以向量空間的維數是唯一併確定的. 若F為域， F上的向量空間 V 的維數可記為 dim_F(V) 或 [V : F], 讀作 " V 在 F 上的維數"。 當上下文中給出明確的F 時, 通常記為 dim(V) .

例子

向量空間 R³ 的基底為

$\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}$

因此 dim_R(R³) = 3。 廣泛來講, dim_R(Rⁿ) = n。更加廣泛而言, 對任何的域 F，dim_F(Fⁿ) = n .

複數系 C 既是實向量空間又是復向量空間; dim_R(C) = 2 以及 dim_C(C) = 1. 所以向量空間的維數取決於構成向量空間的域.

只有一個零向量構成的向量空間 {0} 的維數是 0.

維數的性質

如果 W 是 V 的線性子空間, 那麼 dim(W) ≤ dim(V).

為證明兩個有限維向量空間相等, 通常使用以下公理: 如果 V 是有限維向量空間, W 是 V 的線性子空間, 並且 dim(W) = dim(V), 那麼 W = V.

Rⁿ 的標準基底是 {e₁, ..., e_n}, 其中 e_i 是單位矩陣的第 i 列.

域 F 上的任何兩個向量空間是同構的. 任何他們基底之間的雙射能夠唯一的擴展到整個向量空間上的線性雙射.

參閱

• 基底
• 拓撲維數，也被稱為勒貝格覆蓋維數
• 分形維數，也被稱為豪斯多夫維數
• 克魯爾維數

參考資料

• Gannon, Terry, Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, 2006, ISBN 0-521-83531-3 

外部連結

• MIT Linear Algebra Lecture on Independence, Basis, and Dimension（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at Google Video, from MIT OpenCourseWare