年金

年金是指等額、定期的系列收支。即用於描述這類以固定的時間周期以相對固定的方式發生的現金流。例如，分期付款賒購、分期償還貸款、發放養老金、分期支付工程款、每年相同的銷售收入等，都屬於年金收付形式。

分類

按照收付時點和方式的不同可以將年金分為普通年金、預付年金、遞延年金和永續年金等四種。

普通年金現值

普通年金的現值可以被表達為一個等比數列的總和。

考慮在$t=1,2,...,n$時刻分別發生數額為$C$的款項，總共發生$n$次的現金流（顯然，這是年金）。將在未來發生的款項根據換算周期內的利率$i$折現，這個年金的現值據此計算：

$PV\,=\,{\frac {C}{i}}\cdot [1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}]$ $\mathrm {=} {C}{\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\,$

其中$\mathrm {\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}} \,$稱為「年金因子」。上式同樣也適用於發生時間不同但等時間間隔的年金，比如，從第一年到第十年每年年底付款100元；其中，$i$是換算周期內對應的利率或當期收益率。

若年金的支付永遠進行下去，沒有停止的那一天，這種年金被稱為永久年金。永久年金現值的計算即令上式中$n\to \infty$，則$1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}\to 1$，

$PV\,=\,{\frac {C}{i}}$

因此，前式可以看作是一個永久年金的現值減去一個推遲了$n$年的永久年金的現值所得。

需要注意的是，這些計算公式只有在滿足下述條件時才能成立：

• 無需考慮通貨膨脹，或者所用利率已將通貨膨脹考慮在內。
• 將來的支付具有相當高的發生可能性，或者利率已將信用風險考慮在內。

要了解更多，請參見金錢的時間價值。

普通年金終值

在考慮退休年金計劃或者定期儲蓄計劃時，有時需要計算年金終值。

根據終值計算公式: $FV_{A}=PV_{A}\times (1+i)^{n}$

其中:

• $FV_{A}$為年金終值
  

• $PV_{A}$為年金現值
  

• $i$為對應利率
  

• $n$為年金期數
  

按上文，已知普通年金現值計算公式，將其代入終值計算公式:

${\begin{alignedat}{3}FV_{A}&={\frac {C}{i}}\times [1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}]\times (1+i)^{n}\\&={\frac {C}{i}}\times [(1+i)^{n}-1]\\&=C\times [{\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}]\\\end{alignedat}}$

已知$(1+i)^{n}$為計算終值時使用的[終值因子] (Future Value Factor)，則上述公式可以簡化為:

$FV_{A}=C\times {\frac {Future\,\ Value\,\ Factor-1}{i}}$

我們稱${\frac {Future\,\ Value\,\ Factor-1}{i}}$為[年金終值因子] (FV annuity factor)

最終簡化版的年金終值公式為$FV_{A}=C\times FV\,\ annuity\,\ factor$

普通年金終值的計算

假設A每年年末定期儲蓄10,000元人民幣，年利率5%，那麼到第四年年末，A定期儲蓄的終值是多少？

首先計算終值因子: $Future\,\ Value\,\ Factor=(1+0.05)^{4}=1.215506$

接下來計算年金終值因子: $FV\,\ annuity\,\ factor=(1.22-1)/0.05=4.310119$

最後計算年金終值: $FV_{A}=10000\times 4.310119=43101.19$

A所做定期儲蓄在第四年的終值為43101.19元。

參見

• 現值
• 利息
• 投資
• 淨現值
• 終值
• 金錢的時間價值
• 通貨膨脹
• 逆按揭