拉格朗日中值定理

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中值定理

相關條目微積分學

拉格朗日中值定理羅爾中值定理的推廣,同時也是柯西中值定理的特殊情形。

內容[編輯]

一、文字敘述

如果函數f(x)滿足:

  1. 閉區間[a,b]連續;
  2. 開區間(a,b)可導;

那麼在(a,b)內至少有一點\xi(a<\xi<b),使等式

f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)

成立.

二、邏輯語言的敘述

若函數f(x)滿足:

  1. f(x)\in C[a,b];
  2. f(x)\in D(a,b);

\exists\xi\in(a,b),s.t

f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)

證明[編輯]

g(x)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)+f(a)-f(x)。那麼

  1. g[a,b] 上連續,
  2. g(a,b) 上可微(導),
  3. g(a)=g(b)=0

羅爾定理,存在一點 \xi\in(a,b),使得 g'(\xi)=0。即 f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

其他形式[編輯]

1.f(b)-f(a)=f^\prime(a+\theta(b-a))(b-a),0<\theta<1;

2.f(a+h)-f(a)=f^\prime(a+\theta h)h,0<\theta<1.

另請參見[編輯]