拉格朗日中值定理

中值定理
微分中值定理 羅爾中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 積分中值定理 積分第一中值定理 積分第二中值定理 相關條目：微積分學

拉格朗日中值定理，也簡稱均值定理，是以法國數學家約瑟夫·拉格朗日命名，為羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理。

內容

文字敘述

如果函數$f(x)$滿足：

1. 在閉區間$[a,b]$上連續;
2. 在開區間$(a,b)$內可微分;

那麼至少有一點 $\xi ,\;a<\xi <b$，使下面等式成立

。

證明

拉格朗日中值定理的幾何意義：函數$f(x)$在點$\xi$處的切線，平行於$f(a)$和$f(b)$兩點之間的連線。

令$g(x)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot (x-a)+f(a)-f(x)$。那麼

1. $g$在$[a,b]$上連續，
2. $g$在$(a,b)$上可微（導），
3. $g(a)=g(b)=0$。由羅爾定理，存在至少一點$\xi \in (a,b)$，使得$g'(\xi )=0$。即$f'(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$。

其他形式

1.$f(b)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta (b-a))(b-a),0<\theta <1$;

2. $f(a+h)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta h)h,0<\theta <1$. 或 $f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime }(x+\theta \Delta x)\Delta x,0<\theta <1$.

另請參見

• 中值定理