換位子群

在抽象代數中，一個群的換位子群或導群，是指由這個群的所有交換子所生成的子群，記作[G,G]、G′或G⁽¹⁾ 。每個群都對應着一個確定的交換子群。在一個群G的所有正規子群中，交換子群G′是使得G對它的商群為交換群的最小子群。在某種意義上，交換子群提供了群G的可交換程度。因為從交換子的定義： $[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$ ，如果x與y交換，那麼 $[x,y]=e$ 。一個群內可交換的元素越多，交換子就越少，交換子群也就越小。可交換群的交換子群為平凡群 $\{e\}$ 。

定義[編輯]

給定一個群G，G的交換子群或導群： [G,G]、G′或G⁽¹⁾ 是G的所有交換子所生成的子群：

[G,G]=\langle g^{-1}h^{-1}gh\,|\,g,h\in G\rangle .

類似地可以定義高階的導群。

G^{(0)}=G

G^{(n)}=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N}

可以證明，如果存在自然數 n 使得 $G^{(n)}={e}$ ，那麼G是可解群。

商群 $G/[G,G]$ 是一個阿貝爾群，叫做G的阿貝爾化子群，通常記作G^ab。G的阿貝爾化子群就是G的一階同調群。

$[G,G]=G$ 的群叫做完美群，這是與阿貝爾群相對的概念。完美群的阿貝爾化子群是單位群{e}。

性質[編輯]

$G^{\prime }$ 是 $G$ 的正規子群。
G對於自同構穩定： $\forall \phi \in Aut(G),\phi (G^{\prime })=G^{\prime }$ 。
如果H是G的子群，那麼 $H^{\prime }\subseteq G^{\prime }$ 。
$\pi :G_{1}\to G_{2}$ 是一個滿同態，那麼 $\pi (G_{1}^{\prime })=G_{2}^{\prime }$ 。
如果H是G的正規子群，那麼 $G/H$ 是交換群，當且僅當 $G^{\prime }\subseteq H$ 。
證明： $\pi _{H}:G\to G/H:a\mapsto Ha$ 是一個滿同態，
所以， $G/H$ 是交換群

$\quad \Leftrightarrow \left\{e\right\}=(G/H)^{\prime }=\pi _{H}(G^{\prime })$

$\Leftrightarrow G^{\prime }\subseteq He=H$
$G^{\prime }\subseteq G^{\prime }$ ，所以 $G^{ab}=G/G^{\prime }$ 可交換。