李代數胚

在數學中，李代數胚（Lie Algebroid）在李群胚理論中的角色恰如李代數在李群理論中的角色：將整體問題減化為無窮小情形。就像李群胚可以視為「具有許多對象的李群」，李代數胚可視為「具有許多對象的李代數」。

確切地說，一個李代數胚是三元組 $(E,[\cdot ,\cdot ],\rho )$，其中 $E$ 為流形 $M$ 上一個向量叢，$[\cdot ,\cdot ]$ 是截面 $\Gamma (E)$ 組成的模上的一個李括號，向量叢同態 $\rho :E\rightarrow TM$ 稱為錨。這裡$TM$ 是 $M$ 的切叢。錨與李括號滿足萊布尼茲法則：

$[X,fY]=\rho (X)f\cdot Y+f[X,Y]\ ,$

這裡 $X,Y\in \Gamma (E),f\in C^{\infty }(M)$ 和 $\rho (X)f$ 是 $f$ 沿着向量場$\rho (X)$ 的導數。從而

$\rho ([X,Y])=[\rho (X),\rho (Y)]\ ,$

對任何 $X,Y\in \Gamma (E)$。

例子

• 任何李代數是單點流形上的李代數胚。

• 流形 $M$ 的切叢 $TM$ 是一個關於向量場的李括號的李代數胚，錨是 $TM$ 的恆同。

• 切叢的任何可積子叢（即其截面在李括號下閉）也定義了一個李代數胚。

• 流形上的任何李代數叢定義了一個李代數胚，這裡李括號逐點定義而錨映射等於零。

• 對任何李群胚相伴一個李代數胚，推廣了一個李代數怎樣相伴到李群（見下）。例如，李代數胚 $TM$ 來自配對群胚，其對象為 $M$，以及任何一對對象之間的一個同構態射。很不幸的是，從李代數胚不一定可以得到一個李群胚 ，不過任何李代數胚給出一個棧李群胚 。

• 給定一個李代數 g 在流形 M 上的作用，M 上 g-不變向量場是作用軌道上的李代數胚。

• 阿蒂亞代數胚：給定流形 M 上的向量叢 V，考慮其導數，即光滑 $\mathbb {R}$-線性映射 $\psi :\Gamma (V)\to \Gamma (V)$，且存在一個向量場 X 使得它們滿足萊布尼茲法則 $\psi (fv)=X[f]v+f\psi (v)$ 對所有光滑函數 f 與向量叢的所有截面 v 。聯繫 $\psi \to X$ 顯然是線性的，從而有向量叢之間的一個映射 $\rho :A(V)\to TM$（如果你找出叢使得其截面給出導數）。阿蒂亞代數胚進一步由滿足如下短正合列刻畫 $0\to \mathrm {End} _{M}(V)\to A(V)\to TM\to 0$。為了說明每個向量叢存在阿蒂亞代數胚，只需注意到它是相伴於向量叢 V 的標架叢李群胚的李代數胚。

與李群胚相伴的李代數胚

為了敘述這個構造我們先確定一些記號。G 是李群胚的態射空間，M 是對象空間，$e:M\to G$ 是單位映射，$t:G\to M$ 為靶映射。

$T^{t}G=\bigcup _{p\in M}T(t^{-1}(p))\subset TG$ 為 t-纖維切空間。這樣李代數胚是切叢 $A:=e^{*}T^{t}G$，從 G 中繼承一個括號，因為我們可以將 M-截面通過 G 上的左不變向量叢等價到 A 中。而且通過將 M 上的光滑函數等價於 G 上的左不變函數，這些截面作用在 M 上的光滑函數上。

作為一個更清晰的例子，考慮配對李群胚 $G:=M\times M$ 相伴的李代數胚。靶映射為 $t:G\to M:(p,q)\mapsto p$，單位映射 $e:M\to G:p\mapsto (p,p)$。t-纖維是 $p\times M$ 從而 $T^{t}G=\bigcup _{p\in M}p\times TM\subset TM\times TM$。所以李代數胚是切叢 $A:=e^{*}T^{t}G=\bigcup _{p\in M}T_{p}M=TM$。截面 X 擴張到 A 中 G 上一個左不變向量場不過是 ${\tilde {X}}(p,q)=0\oplus X(q)$，而 M 上一個光滑函數 f 擴張 M 上一個左不變函數是 ${\tilde {f}}(p,q)=f(q)$。從而 A 上的李括號恰好是切向量場上的李括號，錨映射是恆同。

當然也可以用源映射與右不變向量場/函數做相同的程序。但是得到的是同構的李代數胚，同構映射是 $i_{*}$，這裡 $i:G\to G$ 是逆映射。

參見條目

• 埃雷斯曼聯絡
• 仿射聯絡
• 曲率形式

外部連結

• Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, AMS Notices, 43 (1996), 744-752. Also available as arXiv:math/9602220 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

• Kirill Mackenzie, Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, Cambridge U. Press, 1987.

• Kirill Mackenzie, General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge U. Press, 2005

• Charles-Michel Marle, Differential calculus on a Lie algebroid and Poisson manifolds (2002). Also available in arXiv:0804.2451