極限環

穩定極限環以及相應的龐加萊映射

在數學中，特別是在動態系統理論里，極限環是相空間里的一條閉合的（周期性的）軌跡，使得至少另一個軌跡會隨自變量（如時間$t$）變化而逐漸逼近它（在自變量趨於正無窮或負無窮的時候）。極限環是非線性系統特有的現象，線性系統可以有周期解（如簡諧振動），但不存在極限環。在實數軸上的一維自洽系統不存在周期解，故只有二維以上或非自洽系統才會有極限環。

穩定的極限環會導致持續振盪的情況：若一開始軌跡是極限環，則關於軌跡的任意的小擾動都會導致系統重新回到極限環的狀態。故穩定的極限環是一種吸引子。

范德波爾振子的穩定極限環。如圖中所示，不同的初始狀態最終都收斂到極限環。因此，這個系統能夠維持逐漸減弱的振盪。

定義

對一個動態系統自變量$t\in \mathbb {R}$和狀態變量$x\in \mathbb {R} ^{n}$。若該系統的解$x(t)$不經過平衡點，但存在$T>0$使得$x(t)=x(t+T)$對任意$t$成立，則$x(t)$是一條封閉的軌道，或周期解。

如果當時間t $\rightarrow +\infty$ 時，所有的鄰近軌跡都趨近於極限環，那麼所在的流形被稱為穩定的，或者稱極限環是穩定的（吸引的）。反之，如果 t $\rightarrow +\infty$ 時，所有的鄰近軌跡都遠離於極限環，那麼稱流形是不穩定的或者極限環是不穩定的（非吸引的）。在所有其它情況下，流形既不是穩定也不是不穩定的。

存在性和個數

多項式型的微分方程的極限環個數是希爾伯特第十六問題第二部分的主要目標。

對於二維非線性微分方程組，本迪克森準則和龐加萊-本迪克松定理給出極限環存在（或不存在）的條件，而極限環個數或分布則是尚未得到解決的問題。

參見

• 吸引子
• 龐加萊映射
• 杜芬振子
• 洛特卡－沃爾泰拉方程
• 布魯塞爾振子
• 范德波爾振盪器
• 俄勒岡振子
• 周期點
• 穩定流形
• 雙曲集合

參考書目

• 极限环. PlanetMath. 
• Steven H. Strogatz. Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison Wesley publishing company. 1994. ISBN 0-201-54344-3. 
• M. Vidyasagar, "Nonlinear Systems Analysis, second edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632.
• Philip Hartman, "Ordinary Differential Equation", Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.
• Witold Hurewicz, "Lectures on Ordinary Differential Equations", Dover, 2002.
• Solomon Lefschetz, "Differential Equations: Geometric Theory", Dover, 2005.
• Lawrence Perko, "Differential Equations and Dynamical Systems", Springer-Verlag, 2006.